Дипломная работа: Парадокси в математичній статистиці

Теорема 2.1.3.1 (Каган, Лінник, Рао) [ 1] У класі щільностей , зі скінченою дисперсією , що задовольняють умови

1. - неперервно-диференційована функція. (2.1.3.2)

2. при (2.1.3.3)

нерівність Крамера-Рао обертається на рівність на гауссівському розподілі.

Доведення. Будемо вважати, що

Позначимо множину точок , для яких через .

Оскільки неперервна, то - відкрита множина, і отже, можна подати як об’єднання відкритих інтервалів, що не перетинаються:

.

Інтегрування за частинами дає

,

.

Звідси . (2.1.3.4)

Скористаємось нерівністю Коші - Буняковського для інтегралів

.

Позначимо

, .

Тоді з (2.1.3.4) маємо

.

Отже,

,

.

При цьому знак рівності досягається тоді й тільки тоді, коли при деякій постійній

.

Знайдемо щільність з рівності:

. (2.1.3.5)

Розв’язуючи диференціальне рівняння маємо: