Дипломная работа: Системы с постоянной четной частью

Таким образом, точка есть неподвижная точка отображения за период, а решение – -периодическое.

Доказанная лемма, вопрос о периодичности решения

сводит к вычислению одного из значений нечетной части . Иногда относительно можно сказать больше, чем о самом решении . Это позволяет в таких случаях делать различные заключения относительно существования периодических решений у систем вида (8). Дифференцируемые функции

удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений. Прежде, чем выписать эту систему, заметим:

(9)

так как

решение системы (8). Заменяя в тождестве (9) на и учитывая, что производная четной функции – функция нечетная, а производная нечетной функции – функция четная, получаем тождество –

(10)

Из тождеств (9) и (10) найдем производные:

Таким образом вектор-функция

(11)

удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений порядка :

(12)

При этом

Систему (12) будем называть системой чет-нечет, соответствующей системе (8). решение системы чет-нечет, как следует из условия а), однозначно определяется своими начальными условиями.

4. Построение примеров систем, четная часть общего решения которых постоянная

Пример

Найдем решение: будем использовать метод исключения, возьмем первое уравнение системы и выразим из него :

теперь продифференцируем его

Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы