Дипломная работа: Теореми Чеви і Менелая та їх застосування

.

Рис. 1.9

Застосуємо теорему Менелая до трикутника та прямої :

.

Перемножуючи ці рівності, маємо

Використаємо властивості відрізків січних:

, , .

Звідси маємо

,

а оскільки знак кожного з шести співмножників від’ємний, то

,

тому

,

отже точки лежать на одній прямій.

Теорема доведена.

Теорема Гаусса. Середина відрізка, що з’єднує точки перетину продовжень протилежних сторін чотирикутника, лежить на прямій, що проходить через середини діагоналей чотирикутника.

Рис. 1.10

Доведення

Нехай протилежні сторони чотирикутника перетинаються в точках та (див. рис. 1.10). необхідно довести, що середина відрізка , середини та діагоналей і чотирикутника лежать на одній прямій.

Через точки проведемо прямі, паралельні сторонам трикутника :, , .

Згідно з теоремою Фалеса ці прямі перетинають сторони трикутника в їх серединах . Таким чином, точки лежать на продовженнях сторін трикутника , сторони якого є середніми лініями трикутника . Для того, щоб довести, що точки лежать на одній прямій, достатньо довести співвідношення

.

В силу властивості середньої лінії трикутника

,.

Отже, . Аналогічно знаходимо , . Тоді добуток дорівнює . А цей добуток дорівнює –1 згідно з теоремою Менелая, яка застосовується до та прямої . Теорема доведена.

1.4 Застосування теореми Менелая для розв’язання задач

Задача 1.1 У трикутнику медіана ділить відрізок (точка належить стороні ) у відношенні 5:3 , починаючи від вершини . У якому відношенні відрізок ділить медіану