Контрольная работа: Новый метод решения кубического уравнения
кроме того, известны значения (2mn)11 ÷ (2mn)32 . Этих данных достаточно для
определения двух остальных корней.
6.1 Пусть (2mn)11 = 2.5 = (X 1 - X 2 ) -→ X 2 = X 1 – 2.5 = 4 – 2.5 = 1.5 . Это второй корень!
6.2 Пусть (2mn)12 = - 2.5 = (X 1 - X 2 ) -→ X 2 = X 1 +2.5 = 4 + 2.5 = 6.5. Это не корень.
6.3 Пусть (2mn)21 = 2.65 = (X 1 - X 3 ) -→ X 3 = X 1 – 2.65= 4 – 2.65 = 1.35 . Это третий корень!
Решением исходного уравнения будет X1 = 4 , X2 = 1.5, X3 = 1.35.
Расчет закончен !
Неприводимый случай формулы Кардана
Если для кубического уравнения имеет место случай одного действительного и двух мнимых сопряженных корней, то такой вариант называют неприводимым случаем формулы Кардана.
Рассмотрим неприводимый случай формулы Кардана с позиций системы mn параметров.
Задача "Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0. Известно, что нули этого уравнения имеют один действительный и два мнимых сопряженных корня . Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения ".
Пусть а = 1.
Решение
Ранее было показано, что для любого кубического уравнения имеют место формулы
D1 = - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32
D2 = - [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32 ],
где
- (2mn) j - разность любой пары корней исходного уравнения
- D1 = - 
- D2 = - 2( 3c – b 2 )
- ( b,c,d) – коэффициенты исходного уравнения.
По условиям задачи имеем один действительный корень ( обозначим его X 1 = g 1 ) и два сопряженных мнимых корня X 2 = ( g 2 - hi ), X 3 = ( g 2 + hi ). Тогда
(2 mn )1 = ( X 1 - X 2 ) = (g 1 - g 2 ) + hi
(2 mn )2 = ( X 1 - X 3 ) = (g 1 - g 2 ) – hi
(2mn)3 = ( X2 - X3 ) = g2 - hi - g2 – hi = - 2hi
-→ D1 = - ( 2mn)1 2 ∙ ( 2mn)2 2 ∙ ( 2mn)3 2 = - [(g1 - g2 ) + hi]2 ∙ [(g1 - g2 ) - hi]2 ∙ [2 hi]2
-→ D 1 = [( g 1 - g 2 )2 + h 2 ]2 ∙ 4 h 2
Обратим внимание на то, что в этой формуле в квадратных скобках имеют место
- знак “ + “