Контрольная работа: Новый метод решения кубического уравнения

В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→D₁ = - [4(966 – 900)3+(- 54000 + 86940 – 31536)2]/27 = - [ 1149984 + 1971216]/27= - 115600

2. Для дальнейших расчетов общий знак “ - “ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D₁ как положительную величину.

-→D₁ = [( g ₁ - g ₂ )² + h ² ]² ∙ 4 h ² = 115600 = 2∙2∙2∙2∙5∙5∙17∙17 = 4∙2∙2∙5∙5∙17∙17= 4∙ 5² ∙34²

Здесь число 115600 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [( g ₁ - g ₂ )² + h ² ]² ∙ 4 h ² . Тогда можно записать

h = 5 , (g₁ - g₂ )² + h² = 34 -→ (g₁ - g₂ )² = 34 – 25 = 9 -→( g₁ - g₂ ) = ± 3

3. Для определения g₁ и g₂ воспользуемся свойством корней исходного уравнения

- b = X₁ +X₂ +X₃ -→ - ( - 30) = g₁ + g₂ + hi + g₂ – hi = g₁ + 2 g₂ -→ 30 = g₁ + 2g_2.

4. Теперь, имея два уравнения ( g₁ - g₂ )= ± 3 и (g₁ + 2 g₂ ) = 30, можно определить значения g₁ и g₂

Пусть ( g₁ - g₂ )= - 3 -→ g₂ = g₁ – 3 -→ g₁ + 2(g₁ – 3) = 30 -→ 3g₁ = 24 -→ g ₁ = 8 -→g ₂ = 11.

-→ X ₁ = 8, X ₂ = 11 + 5 i , X ₃ = 2 – 5 i

Расчет закончен !

Новый метод решения кубических уравнений

Из анализа результатов вышеприведенных примеров можно предложить новый метод решения кубических уравнений..Для корней кубического уравнения могут

иметь место следующие случаи

- три корня имеют одинаковые действительные значения

- три корня имеют действительные значения, при этом два из них являются сопряженными, т.е. если X₁ = g + h, то X₂ = g – hили X₁ = (g + h), то X₂ = (g – h), Наличие множителя обусловлено численным значением коэффициента b при X для X³ + bX² + cX + d = ( X – X₁ )∙( X² + b X + c ) = 0.

- один корень имеет действительное значение, два других- комплексные и сопряженные, т.е. если X₁ = g + ih, то X₂ = g – ih.

Первый случай – тривиальный . (x – a )³ = x³ – 3ax² +3a² x – a³ = 0. Определение корней для остальных случаев является непростой задачей.

Три разных действительных корня

Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X ₁ = g ₁ ) и два сопряженных действительных корня. Если исходное уравнение разделить на разность ( X – g₁ ), то получим квадратное уравнение вида

[ X – (g₂ + h)]∙[ X – (g₂ - h)] = 0

-→ X² – 2g₂ X + (g₂ ² – h² ) = 0

-→ X₁ = g₁ , X_2,3 = g₂ ± h -→ X₂ = ( g₂ - h), X₃ = ( g₂ + h)

-→ (2mn)₁ = ( X₁ - X₂ ) = (g₁ - g₂ ) + h

(2mn)₂ = ( X₁ - X₃ ) = (g₁ - g₂ ) – h

(2mn)₃ = ( X₂ - X₃ ) = g₂ - h - g₂ – h = - 2h