Контрольная работа: Новый метод решения кубического уравнения

Таким образом, метод решения поставленной задачи заключается в следующем

1 . На основании значений коэффициентов исходного уравнения по формулам

D ₁ = -

D ₂ = - 2( 3c - b ² )

определяются значения D ₁ и D ₂ .

2. Определяются D ₁ - как произведение двух квадратов

D ₂ - как удвоенная сумма двух квадратов.

3. Определяются значения g ₁ , g ₂ , h .

4. Определяются значения (2mn)₁₁ , (2mn)₂₁ , (2mn)₃₁

5. Определяются значения корней исходного уравнения.

Пример 5 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -9x2 + 73x – 265 = 0

где a =1, b = - 9, c = 73, d = - 265

В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→D₁ = - [4(219 – 81)3+(- 1458 + 5913 – 7155)2]/27 = - [ 10512288 + 7290000]/27= - 659344

2. Для дальнейших расчетов общий знак “ - “ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D₁ как положительную величину.

-→D₁ = [( g ₁ - g ₂ )² + h ² ]² ∙ 4 h ² = 659344 = 2∙2∙2∙2∙7∙7∙29∙29 = 4∙2∙2∙7∙7∙29∙29= 4∙7² ∙ 58²

Здесь число 659344 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [( g ₁ - g ₂ )² + h ² ]² ∙ 4 h ² . Тогда можно записать

h = 7 , (g₁ - g₂ )² + h² = 58 -→ (g₁ - g₂ )² = 58 – 49 = 9 -→( g₁ - g₂ ) = ± 3

3. Для определения g₁ и g₂ воспользуемся свойством корней исходного уравнения

- b = X₁ +X₂ +X₃ -→ - ( - 9) = g₁ + g₂ + hi + g₂ – hi = g₁ + 2 g₂ -→ 9 = g₁ + 2g_2.

4. Теперь, имея два уравнения ( g₁ - g₂ )= ± 3 и (g₁ + 2 g₂ ) = 9, можно определить значения g₁ и g₂

Пусть ( g₁ - g₂ )= 3 -→ g₂ = g₁ – 3 -→ g₁ + 2(g₁ – 3) = 9 -→ 3g₁ = 15 -→ g ₁ = 5 -→g ₂ = 2.

-→ X ₁ = 5, X ₂ = 2 + 7 i , X ₃ = 2 – 7 i

Расчет закончен !

Пример 6 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -30x2 + 322x – 1168 = 0