Контрольная работа: Новый метод решения кубического уравнения

x3 -33x2 + 311x – 663 = 0

где a =1, b = - 30, c = 322, d = - 1168

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→D₁ = - [4(933 – 1089)3+(- 71874 + 92367 – 17901)2]/27 = - [- 15185664 +6718464 ]/27=313600

-→ D₁ = [( g ₁ - g ₂ )² - h ² ]² ∙ 4 h ² = 313600 = 4∙4² ∙7² ∙10² = 4∙40² ∙7² = 4∙70² ∙4² = 4∙28² ∙10²

313600 = 4∙140² ∙2² = 4∙7² ∙40² = 4∙5² ∙56²

-→ = 40² ∙7² = 70² ∙4² = 28² ∙10² = 140² ∙2² =5² ∙56²

2. Пусть h ₁ ² = 7²

→ X₁ = g₁₁ = - b ) = - b) =

→ g₁₁ = X₁₁ = 13, X₁₂ = 9.

→ g₂₁ = - = - = 10

→ X _2,3 = g ₂₁ + h ₁ = 10 ± 7 → X ₂ = 17, X ₃ = 3

Задача решена!

Неприводимый случай формулы Кардана

Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X ₁ = g ₁ ) и два мнимых сопряженных корня

X ₂ = ( g ₂ - ih ), X ₃ = ( g ₂ + ih ).

-→ (2 mn )₁ = ( X ₁ - X ₂ ) = (g ₁ - g ₂ ) + ih

(2 mn )₂ = ( X ₁ - X ₃ ) = (g ₁ - g ₂ ) – ih

(2 mn )₃ = ( X ₂ - X ₃ ) = g ₂ - ih - g ₂ – ih = - 2 ih

Задано исходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0 . Необходимо найти значения корней.

1. Определяем значение D ₁ = -

2. Разделим

3. Представляем число в виде произведения двух квадратов = [( g ₁ - g ₂ )² + h ² ]² ∙ h ² .

4. Меньший множитель принимаем за h ² → [( g ₁ - g ₂ )² + h ² ]² =

→ ( g ₁ - g ₂ ) =

5. Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения

Из исходного уравнения b = - (X₁ + X₂ + X₃ ) → b = - (g₁ + g₂ - ih + g₂ + ih )

→ b = - ( g₁ + 2g₂ )