Контрольная работа: Новый метод решения кубического уравнения
-→D1 = - [4(63 – 36)3+(- 432 + 1134 – 1404)2]/27 = - [ 78732 + 492804 ]/27= 21168
→ D1 =[( g 1 - g 2 )2 - h 2 ]2 ∙ 4 h 2 = 21168 = 4∙22 ∙72 ∙ 
= 4∙142 ∙ = 4∙
→ D1 = 
Пусть h 1 2 =
→ X1 = g11 = 
- b ) = 
+ 6) = 
= 4
→ X1 = 4
→ g21 = - 
= - 
= 1
→ X2,3 = g21 + ih1 = 1 ± 2i
→ X2 = 1 + 2i 
, X3 = 1 - 2i
Сравните метод решения и результат с первоисточником.
[И.Н.Бронштейн. К. А.Семендяев .Справочник по математике. М. Наука.1980. Стр. 220 ]
Вывод новых формул
Основные свойства корней квадратного и кубического уравнений выражаются известными формулами Виета. Использование системы mn параметров дает возможность получения новых, ранее неизвестных, формул отражающих свойства корней указанных уравнений.
Рассмотрим кубическое уравнение и проведем анализ формулы (1)
(2 mn )2 + ( 3 x + b )(2 mn ) + 3 x 2 + 2 bx +с = 0
Если в это уравнение подставить значение любого из корней исходного кубического уравнения, то получим
(2 mn )2 + ( 3 xi + b )(2 mn ) + 3 xi 2 + 2 bxi +с = 0
→ (2 mn )2 + ( 3 x 1 + b )(2 mn ) + 3 x 1 2 + 2 bx 1 +с = 0
→ (2 mn )2 + ( 3 x 2 + b )(2 mn ) + 3 x 2 2 + 2 bx 2 +с = 0
→ (2 mn )2 + ( 3 x 3 + b )(2 mn ) + 3 x 3 2 + 2 bx 3 +с = 0
Таким образом, исходное кубическое уравнение распадается на три квадратных уравнения. При этом для каждого положительного значения (2 mn ) I обязательно найдется отрицательное значение (2 mn ) j . Поэтому общая сумма всех корней вида (2 mn ) будет равна нулю.
→ ( 3 x 1 + b ) + ( 3 x 2 + b ) + ( 3 x 3 + b ) = 0 → 3( x 1 + x 2 + x 3 ) = - 3 b
→ ( x 1 + x 2 + x 3 ) = - b .
Таким образом получили строгое доказательство одного из уравнений Виета.
Рассмотрим любых два уравнения, например,
→ (2 mn )2 + ( 3 x 1 + b )(2 mn ) + 3 x 1 2 + 2 bx 1 +с = 0
(2 mn )2 + ( 3 x 2 + b )(2 mn ) + 3 x 2 2 + 2 bx 2 +с = 0.
Здесь в качестве свободных членов имеем 3 x 1 2 + 2 bx 1 +с и 3 x 2 2 + 2 bx 2 +с. Их сумма равна
→ Σ = 3(x 1 2 + 3 x 2 2 ) + 2b ( x 1 + x 2 ) + 2 с. Расчеты показывают, что
3(x 1 2 +x 2 2 ) + 2b ( x 1 + x 2 ) + 2 с = ( x 1 - x 2 )2