Контрольная работа: Производная и ее применение для решения прикладных задач

Дифференциальное исчисление широко применяется для экономического анализа как математический аппарат. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.

Производная в экономических формулах:

П (t) = υ^/ (t) - производительность труда,

где υ (t) - объем продукции

J(x) = y^/ (x) - предельные издержки производства,

где y– издержки производства в зависимости от объема выпускаемой продукции x.

В работе рассмотрены прикладные задачи, способы решения которых можно использовать для решения нестандартных задач по алгебре и началам анализа, при подготовке к государственной итоговой аттестации, внешнему независимому оцениванию. Достаточно большое число задач раскрывают потенциальные возможности анализа бесконечно малых величин.

1. Производная и ее применение для решения прикладных задач

1.1 Исторические сведения

Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности. Они встречались у Евклида. Ряд таких задач был решен Архимедом, разработавшим способ проведения касательной, примененный им к спирали, но применимый для других кривых. Основное понятие дифференциального исчисления – понятие производной – возникло в XVII в. В связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики. Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем на основе двух задач: 1) о разыскании касательной к произвольной линии2) о разыскании скорости при произвольном законе движенияЕще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

1.2 ??????? ???????????, ?? ?????????????? ? ?????????? ?????

Понятие производной

Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке (a; b), и пусть х₀ - произвольная точка этого промежутка

Дадим аргументу x приращение ∆x, тогда функция y = f(x) получит приращение ∆y = f(x + ∆x) - f(x). Предел, к которому стремится отношение ∆y / ∆x при ∆x → 0, называется производной от функции f(x).

y'(x)=

Геометрический смысл производной состоит в том, что она равна угловому коэффициенту касательной. Рассмотрим график функции (рис.). Видно,

что , т.е. это отношение равно угловому

коэффициенту секущей mm. Если , то секущая,

поворачиваясь вокруг точки М, в пределе переходит в

касательную , так как касательная является предельным

положением секущей, когда точки пересечения сливаются.

Таким образом,.

Уравнение касательной

, где - координаты точки касания, а - текущие координаты точки касательной прямой.

Физический смысл производной заключается в скорости изменения функции.

Пусть s = s (t ) — закон прямолинейного движения. Тогда v (t ₀ ) = s '(t ₀ ) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t ₀ . Вторая производная a (t ₀ ) = s ''(t ₀ ) выражает мгновенное ускорение в момент времени t ₀ .Вообще производная функции y = f (x ) в точке x ₀ выражает скорость изменения функции в точке x ₀ , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f (x ).

13 Дифференциал

Пусть дана функция и - внутренняя точка её области определения. Придадим аргументу приращение и рассмотрим приращение функции

Если это приращение можно представить в виде где величина не зависит от приращения, а - бесконечно малая при величина, имеющая больший порядок малости, чем , то произведение называется дифференциалом функции в точке и обозначается .

Перечень прикладных задач: