Контрольная работа: Производная и ее применение для решения прикладных задач
Пример 1.
Является ли периодической функция 
?
Решение
Воспользуемся следующим утверждением: если дифференцируемая в каждой точке числовой прямой функция имеет период Т, то ее производная также имеет период Т.
Предположим, что данная функция 
является периодической с периодом Т. Применяя формулу
,
получаем
где 
.
Имеем
Поскольку по предположению функция имеет период Т, то функция 
, а следовательно, и функция 
также имеют период Т.
Значит, и функция 
Также имеет период Т. Отсюда следует, что существует число 
, 
, такое, что Т=
. Аналогично показывается, что существует число 
, такое, что Т=
.
Но тогда 
т.е. число 
является рациональным, что неверно. Следовательно данная функция НЕ является периодической.
3.4 Нахождение приближенных значений функции
Пример 1.
Найти приращение и дифференциал функции в точке х=2 при 
и при 
. Найдите абсолютную и относительные погрешности, которые мы допускаем при замене приращения функции ее дифференциалом.
Решение
При х=2 и имеем
Абсолютная погрешность 
Относительная погрешность 
то есть относительная погрешность будет около 4%.
При х=2 и имеем
Абсолютная погрешность 
а относительная погрешность 
то есть относительная погрешность будет уже около 0,4%.
Пример 2
Пользуясь понятием дифференциала функции вычислите приближенно изменение, претерпеваемое функцией 
при изменении х от значения 5 к значению 5,01.