Контрольная работа: Производная и ее применение для решения прикладных задач

то есть и .

3. В точке х=0 функция имеет разрыв в точке х=0.

При этом

4. Находим производную: и приравниваем ее к нулю:

. Точка будет критической.

Проверим достаточные условия экстремума в точке . Так как знаменатель производной всегда положителен, то достаточно проследить за знаком числителя. Получаем: при и при . Следовательно, в точке функция имеет минимум, ее значение в точке .

5. Точек пересечения с осью ОY нет, так как данная функция не определена при х=0. Чтобы найти точки пересечения кривой с осью ОХ, нужно решить уравнение .

Тогда или .

Получим, что при функция убывает; х=y=0; функция убывает; при функция убывает; при х= функция имеет минимум y=3; при функция возрастает.

График данной функции представлен на рисунке.

Кривая, рассмотренная в этой задаче называется «Трезубец Ньютона».

3.2 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, решение прикладных задач (задач на оптимум)

Пример 1

Из бревна, имеющего радиус R, сделать балку наибольшей прочности.

Решение:

Составляем функцию, выражающую необходимое условие.

В данной задаче высота балки (представляющей собой прямоугольник, вписанный в окружность радиуса R и ширины х), равна . Поэтому прочность такой балки равна . При этом х изменяется от 0 до 2R.

Функция обращается в нуль при х=0 и х=2R и положительна между этими значениями. Значит она имеет максимум, лежащий между 0 и 2R. Но производная этой функции обращается в нуль на отрезке лишь при . Это и есть оптимальное значение ширины b балки. Высота h балки такой ширины равна и отношение равно . Именно такое отношение высоты вытесываемой балки к ее ширине предписывается правилами производства строительных работ.

Пример 2

Требуется построить открытый цилиндрический резервуар вместимостью . Материал имеет толщину d. Какими должны быть размеры резервуара (радиус основания и высота), чтобы расход материала был наименьшим?

Решение.

Радиус основания внутреннего цилиндра обозначим через х, высоту внутреннего цилиндра через h. Объем дна и стенки резервуара

С другой стороны, по условию , откуда

Подставляя в (*), находим

Полученную функцию нужно исследовать на экстремум при х>0:

Единственный положительный корень производной – это точка Она и дает решение задачи. При этом