Контрольная работа: Производная и ее применение для решения прикладных задач

3.8 Сравнение чисел и доказательство неравенств

При доказательстве неравенств или для сравнения двух чисел полезно перейти к общему функциональному неравенству.

Пример 1.

Сравнить и .

Решение.

Рассмотрим функцию .

Так как

,

,

То функция возрастает на интервале .

Таким образом,

И, следовательно, <.

Пример 2.

Какое из чисел больше: или ?

Решение.

Рассмотрим функцию Так как и при то функция возрастает на множестве всех действительных чисел. Поэтому , т.е.

Пример 3.

Докажите, что при .

Доказательство:

Рассмотрим функцию при и .

При , .

Находим и :; ;

;

. В точке =6, то есть имеет минимум, равный . При функция убывает от до , а при , то есть функция возрастает. При , что и доказывает неравенство.

3.9 Решение неравенств

Пример 1.