Контрольная работа: Производная и ее применение для решения прикладных задач

Поэтому следовательно, функция при является тождественно равной постоянной. Чтобы найти эту постоянную, вычислим, например, ; имеем:

.

Таким образом, данное тождество доказано для всех .

3.11. Решение уравнений

Пример 1.

Решение

Переписав данное уравнение в виде

, заметим, что его корнями являются абсциссы точек пересечения или касания графиков функций и .

Для выяснения взаимного расположения графиков этих функций найдем их точки экстремумов.

Так как , то эта функция достигает своего наименьшего значения, ровно 1, в точке х=1. Область существования функции состоит из всех х таких, что . Так как

то при ,

при ,

при .

Так как функция непрерывна на , то отсюда заключаем, что функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке . Следовательно, точка х=1 является наибольшим значением функции на ее области существования.

Таким образом, при любом

,

.

Следовательно уравнение имеет один единственный корень х=1.

Взаимное расположение графиков показано на рисунке.

3.12 Решение систем уравнений

Пример 1.

Решить систему уравнений

Решение.

Перепишем данную систему в виде