Контрольная работа: Производная и ее применение для решения прикладных задач
Раскрытие неопределенностей типа и
. Пусть однозначные функции
и
дифференцируемы при
причем производная
не обращается в нуль.
Если и
- обе бесконечно малые или бесконечно большие при
т.е. если частное
представляет в точке х=
неопределенность типа
или
, то
при условии, что предел отношения производных существует (правило Лопиталя). Правило применимо и в случае, когда
.
Если частное вновь дает неопределенность в точке х=
одного из двух упомянутых типов и
и
удовлетворяют всем требованиям, ранее сформулированным для
и
, то можно перейти к отношению вторых производных и т.д.
Пример 1.
Пример 2.
Вычислить (неопределенность типа
Приведя дроби к общему знаменателю, получим:
(неопределенность типа
Прежде чем применить правило Лопиталя, заменим знаменатель последней дроби эквивалентной ему бесконечно малой
Получим:
(неопределенность типа
По правилу Лопиталя
Далее, элементарным путем находим: