Контрольная работа: Решение задач по высшей математике
; 
.
Задача 14
Исследовать на абсолютную и условную сходимость
.
Решение
Проверим выполнение условий теоремы Лейбница
а) 
б) 
(при вычислении предела применялось правило Лопиталя). Условия выполняются, следовательно, ряд сходится. Исследуем ряд на абсолютную сходимость.
Имеем:
Тогда по признаку Даламбера:
, и ряд, составленный из абсолютных величин элементов исходного ряда, будет сходится. Следовательно, ряд сходится абсолютно.
а) 
б) 
,
следовательно ряд 
- сходится.
2) Пусть 
. Тогда 
. Применим признак сравнения, сравнивая его с расходящимся гармоническим рядом 
. Имеем
.
Таким образом, ряд 
- расходится.
Ответ
Область сходимости ряда 
есть интервал 
.
Задача 15
Вычислить предел 
.
Решение
Для вычисления этого предела непосредственно применить указанные теоремы нельзя, так как пределы функций, находящихся в числителе и знаменателе, не существуют. Здесь имеется неопределенность вида 
, для раскрытия которой в данном случае следует числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной 
, т.е. на 
:
,
так как 
при 
.
Задача 16
Вычислить придел 