Контрольная работа: Решение задач по высшей математике

Задача 26

Найти общее решение уравнения

.

Решение

Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение ищем в виде , тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получим

или . (1)

Задача 27

Исследовать функцию .

Решение

1. Функция определена и непрерывна на интервале . Поэтому точек разрыва и вертикальных асимптот у графика функции нет.

2. Функция нечетная, поскольку . Это значит, что график функции симметричен относительно начало координат.

3. Положив , получим , т.е. кривая проходит через начало координат.

4. Функция не периодична.

5. Находим первую производную . Производная для всех . Это значит, что функция возрастает на всей числовой оси. Поэтому экстремумов она не имеет.

6. Находим вторую производную и приравниваем её к нулю: . Точка будет критической точкой. Точкой разбиваем область определения функции на интервалы и , являющиеся интервалами знакопостоянства второй производной.

	—		+
	выпуклая		вогнутая

Поскольку при переходе через точку производная меняет знак, то точка будет точкой перегиба искомой кривой.

7. Выясним наличие наклонных асимптот:

;

;

; .

Следовательно, наклонными асимптотами будут прямые:

и .

Задача 28

Найти частные производные функции

.

Решение

; ; .

Задача 29

Найти производную функции в точке в направлении вектора .