Контрольная работа: Решение задач по высшей математике

1) Пусть . Тогда - знакочередующийся ряд. Для его анализа применим теорему Лейбница:

Задача 14

Вычислить с точностью до .

Решение

Разложив в ряд и поделив почленно на , получим:

.

Выбираем функцию такой, чтобы .

Тогда .

Интегрируем и находим или .

Подставив найденную функцию в (1), получим ещё одно уравнение

, , ; .

Следовательно, - общее решение заданного уравнения.

Задача 42

Найти общее решение дифференциального уравнения:

.

Решение

Составим характеристическое уравнение

. Так как и , то общим решением будет

.

Частное решение неоднородного уравнения подбирается в зависимости от вида функции .

1. Пусть , , представляет собой многочлен степени с действительными коэффициентами. Тогда частное решение следует искать в виде:

,

где - многочлен той же степени, что и многочлен , но с неизвестными коэффициентами, а - число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Задача 43

Найти общее решение уравнения .

Решение

Ищем общее решение в виде , где - общее решение соответствующего однородного уравнения, - частное решение неоднородного уравнения. Так как - многочлен первой степени и один корень характеристического уравнения , то частное решение надо искать в виде