Контрольная работа: Системы линейных и дифференциальных уравнений

Воспользуемся формулой:

Подставим данные:

или

Т.е. уравнение грани А₁ А₂ А₃ : или

Искомая высота проходит через точку A₄ (8; 10; 7)иперпендикулярна плоскости , имеющей вектор нормали .

Направляющий вектор высоты совпадает с вектором нормали плоскости, к которой проведена высота, следовательно, т.к. каноническое уравнение прямой , то уравнение искомой высоты.

Площадь треугольника А₁ А₂ А₃ можно найти по формуле: , где - векторное произведение двух векторов

и .

кв.ед.

Объем пирамиды можно найти по формуле: , где - смешанное произведение трех векторов , и

Тогда куб.ед.

Ответ:

ед.; А₁ А₄ : ; А₁ А₂ А₃ :

h: ; кв.ед.; куб.ед.

4. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.

;

Решение:

Найдем характеристическое уравнение матрицы А – определитель матрицы А -Е , где Е – единичная матрица, – независимая переменная.

А –Е = – = .

Найдем теперь собственные числа матрицы А – корни характеристического уравнения . Получаем:

Получаем:

, , .

Далее найдем собственные векторы матрицы А , соответствующие каждому из собственных чисел.

Пусть Х = – искомый собственный вектор.

Тогда система однородных уравнений (А -Е) = 0 выглядит так:

или

Эта однородная система линейных уравнений имеет множество решений, так как ее определитель равен нулю.

При система принимает вид:

Общее решение этой системы , где любое число.

В качестве собственного вектора достаточно взять любое частное решение.