Контрольная работа: Системы линейных и дифференциальных уравнений

б) - уравнение Бернулли.

Решим его, выполнив замену . Тогда и исходное уравнение примет вид: - линейное неоднородное уравнение первого порядка. Будем искать его решение в виде , тогда и

Функцию u будем искать такую, что , т.е.

Тогда:

В итоге и подставляя получаем - общее решение уравнения.

Найдём решение задачи Коши для :

Искомое решение .

в) - неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Его решение представляет собой сумму , где - общее решение однородного уравнения, - частное решение неоднородного уравнения, зависящее от и вида правой части неоднородного уравнения.

Решением уравнения вида будет , где - корни характеристического уравнения .

Запишем характеристическое уравнение для :

и найдем его корни:

Тогда решение уравнения имеет вид: , где С₁ и С₂ – произвольные константы.

будем искать в виде

Тогда:

и подставляя в уравнение получаем:

откуда, приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х , получаем:

,

т.е.

Общее решение неоднородного уравнения есть

Ответ: а) ;

б) ;

с) .

8.