1 -1 1 2 0 3 -3 -1 23 -16-p -3 14 -7-p 0

8 -7 p 11 0 23 -16-p -3

-1*(-1) ²⁺³ _* -7 7 = 49 + 7p – 98 = 7p - 49

14 -7-p

Если detA=0 , то ранг матрицы А равен двум , т.е. 7p – 49 = 0 , p = 7.

Третья строка по теореме о базисном миноре является комбинацией первых двух .

Обозначим коэффициенты этой комбинации через λ₁ и λ₂ , λ₃ ,тогда (8,-7,7,11) = λ₁ (1,2,-2,1)+ + λ₂ (2,-3,3,2) + λ₃ (1,-1,1,2);

Имеем систему : λ₁ + 2λ₂ + λ₃ = 8 * 2

2λ₁ - 3λ₂ - λ₃ = -7

-2λ₁ + 3λ₂ + λ₃ = 7

λ₁ + 2λ₂ + 2λ₃ = 11

Решим данную систему методом Гаусса :

λ₁ + 2λ₂ + λ₃ = 8 1) λ₃ = 3

7λ₂ + 3λ₃ = 23 2) 7λ₂ + 9 = 23

7λ₂ + 3λ₃ = 23 7λ₂ = 14

λ₃ = 3 λ₂ = 2

3) λ₁ + 2*2 + 3 =8

λ₁ = 1

коэффициенты линейных комбинаций λ₁ = 1 ; λ₂ = 2 ; λ₃ = 3 ;

Ответ : (8,-7,7,11) = 1(1,2,-2,1)+ 2(2,-3,3,2) + 3(1,-1,1,2) .

5. Относительно канонического базиса в R₃ даны четыре вектора f₁ (1,1,1) , f₂ (1,2,3) , f₃ (1,3,6), x(4,7,10). Докажите, что векторы f₁ , f₂ , f₃ можно принять за новый базис в R₃ . (ТР0.РП) . Найдите координаты вектора x в базисе f_i .

Составим определитель из компонент векторов и f₁ , f₂ , f₃ вычислим его :

1 1 1 1 1 1

∆ = 1 2 3 = 0 1 2 = 1*(-1)¹⁺¹ * 1 2 = 5 – 4 = 1

1 3 6 0 2 5 2 5

Так как ∆ ≠ 0 , то векторы f₁ , f₂ , f₃ образуют базис трёхмерного пространства R₃

Для вычисления координат вектора x в этом базисе составим систему линейных уравнений :

х₁ + х₂ + х₃ = 4 *(-1)

х₁ + 2х₂ + 3х₃ = 7

х₁ + 3х₂ + 6х₃ = 10