Контрольная работа: Высшая математика Матрица

Ответ : х₁ = 2 , х₂ = 3 , х₃ = - 2 , х₄ = -1.

7. Дана система линейных уравнений

3х₁ + х₂ - х₃ - х₄ = 2,

9х₁ + х₂ - 2х₃ - х₄ = 7,

х₁ - х₂ - х₄ = -1,

х₁ + х₂ - х₃ -3х₄ = -2.

Докажите ,что система совместна . Найдите её общее решение . (392.БЛ). Найдите частное решение , если х₄ = 1 .

Доказательство :

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда , когда ранг основной матрицы

системы равен рангу расширенной матрицы .

Составим расширенную матрицу :

3 1 -1 -1 2 0 -2 2 8 8 0 0 1 6 7

А = 9 1 -2 -1 7 → 0 -8 7 26 25 → 0 0 3 18 21 =0

1 -1 0 -1 -1 0 -2 1 2 1 0 -2 1 2 1

1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2

Первая и вторая строка пропорциональны следовательно А = 0. Поэтому ранг матрицы и расширенной матрицы равны 3 поэтому система является совместной .

Решим систему методом Гаусса :

запишем последнее уравнение на первое место :

х₁ + х₂ - х₃ -3х₄ = -2

3х₁ + х₂ - х₃ - х₄ = 2

9х₁ + х₂ - 2х₃ - х₄ = 7

х₁ - х₂ - х₄ = -1

1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2

С = 3 1 -1 -1 2 → 0 2 -2 -8 -8 → 0 2 -2 -8 -8 →

9 1 -2 -1 7 0 8 -7 -26 -25 0 0 -1 -6 -7

1 -1 0 -1 -1 0 2 -1 -2 -1 0 0 -1 -6 -7

х₁ + х₂ - х₃ -3х₄ = -2

→ 2х₂ - 2х₃ -8х₄ = -8

- х₃ -6х₄ = -7.