Контрольная работа: Высшая математика Матрица
Aх = 0 5 0 * 0 = 0 + 0 + 0 = 0 = 2 * 0
3 2 1 3 3 + 0 + 3 6 3 .
Отсюда следует , что вектор х = (1 ,0 ,3) собственный и отвечает собственному числу λ = 2 .
Составляем характеристическое уравнение :
-1 – λ 2 1
0 5 – λ 0 = 0
3 2 1 – λ
(5 – λ)*((-1 – λ)*(1 – λ) – 3) = 0
5 – λ = 0 или λ2 –1 – 3 = 0
λ2 = 4
λ= ±2
λ1 = 2 , λ2 = -2 , λ3 = 5 .
Запишем систему для определения собственного вектора, отвечающего собственному числу λ = -2.
х1 + 2х2 + х3 = 0 х2 = 0
7х2 = 0
3х1 + 2х2 + 3х3 = 0
х1 + х3 = 0 х1 = -х3
3х1 + 3х3 = 0
Пусть х3 = 1 ,тогда х1 = -1 , имеем собственный вектор х1 = (-1 ;0 ;1) .
Проверка :
-1 2 1 -1 1 + 0 + 1 2 -1
A = 0 5 0 * 0 = 0 + 0 + 0 = 0 = -2 * 0
3 2 1 1 -3 + 0 + 1 -2 1
Следовательно , х1 = (-1 ;0 ;1) собственный вектор и отвечает собственному числу λ = -2.
Найдём собственный вектор для λ = 5
-6х1 + 2х2 + х3 = 0
3х1 + 2х2 - 4х3 = 0
-9х1 + 5х3 = 0
х1 = 5/9 х3
-6*(5/9 х3 ) + 2х2 + х3 = 0
-10/3 х3 + х3 + 2х2 = 0