Контрольная работа: Высшая математика Матрица

S = 7 * 3 * √2 * sin 45° = 21 * √2 * √2 / 2 =21 .

Ответ :S =21 .

10 (78Т). Вычислите Пр_BD [BC ,CD] , если B(6,3,3) ; C(6,4,2) ; D(4,1,4) .

Решение :

Найдём координаты векторов

BD = ( 4 – 6 , 1 – 3 , 4 – 3 ) = ( - 2 ; - 2 ; 1 ),

BC = ( 6 – 6 , 4 – 3 , 2 – 3 ) = ( 0 ; 1 ; - 1 ),

CD = ( 4 – 6 , 1 – 4 , 4 – 2 ) = ( - 2 ; - 3 ; 2 ).

Найдём векторное произведение :

i j k

[BC ,CD] = 0 1 -1 = i (2 – 3) – j (0 –2) + k (0 + 2) = - i + 2j + 2k .

-2 -3 2

Пусть [BC ,CD] = а , тогда а = ( -1 ; 2 ; 2 )

Пр_BD а = ( BD , a ) /| BD |

( BD , a ) = -2*( -1 ) – 2*2 + 1*2 = 2 –4 + 2 = 0 .

Пр_BD а = 0 .

Ответ : Пр_BD а = 0 .

11. Линейный оператор А действует в R₃ → R₃ по закону Ax = (- х₁ + 2х₂ + x₃ , 5х₂ , 3х₁ + 2х₂ + х₃ ), где х( х₁ , х₂ , х₃ ) – произвольный вектор .(125.РП). Найдите матрицу А этого оператора в каноническом базисе . Докажите , что вектор х(1,0 ,3) является собственным для матрицы А .(Т56). Найдите собственное число λ₀ ,соответствующее вектору х . (Д25.РП). Найдите другие собственные числа , отличные от λ₀ . Найдите все собственные векторы матрицы А и сделайте проверку .

Решение :

Ax = (- х₁ + 2х₂ + x₃ ; 5х₂ ; 3х₁ + 2х₂ + х₃ )

Найдём матрицу в базисе l₁ , l₂ , l₃

A_{l 1} = (-1 ; 2 ;1)

A_{l 2} = (0 ; 5 ; 0)

A_{l 3} = (3 ; 2 ; 1)

-1 2 1

A = 0 5 0

3 2 1 .

Докажем , что вектор х = (1 ,0 ,3) является собственным для матрицы А.

Имеем