Курсовая работа: Абелевы универсальные алгебры

Возникающая таким образом алгебра называется прямым произведением алгебр .

Приведем некоторые определения из

Определение 1.5. Отображение из алгебры в алгебру называется гомоморфизмом , если для любых элементов и любой -арной операции () справедливо равенство

Если же – нульарная операция, то полагаем

Взаимнооднозначный гомоморфизм алгебры на называется изоморфизмом и обозначается . Гомоморфизм алгебры в себя называется эндоморфизмом алгебры . Изоморфизм алгебры в себя называется ее автоморфизмом .

Определение 1.6. Конгруэнцией на алгебре называется всякая подалгебра прямого квадрата , обладающая следующими свойствами:

1) (рефлексивность ): для всех ;

2) (симметричность ): если , то ;

3) (транзитивность ): если и , то .

Отметим, что условия 1) – 3) означают, что – эквивалентностъ на множестве .

Определение 1.7. Пусть – гомоморфизм алгебры в . Ядром гомоморфизма называется подмножество

В работе [3] приводятся следующие теоремы об изоморфизмах

Теорема 1 Ядро гомоморфизма является конгруэнцией.

Определение 1.8. Если – конгруэнция на алгебре и , то множество

называется классом конгруэнции . Множество всех классов конгруэнции обозначают через . При этом для каждой -арной операции считают , а для -арной операции , где , – . Получившуюся алгебру называют фактор-алгеброй алгебры по конгруэнции .

Теорема Первая теорема об изоморфизмах 2 Если – гомоморфизм алгебры в , то

Теорема Вторая теорема об изоморфизмах 3 Пусть конгруэнция на алгебре , – подалгебра алгебры . Тогда

Определение 1.9. Если , – конгруэнции на алгебре и содержится в , то обозначим

и назовем фактором алгебры или фактором на .

Теорема Третья теорема об изоморфизмах 4 Пусть – фактор на алгебре . Тогда

Определение 1.10. Если и – конгруэнции алгебры , то полагают