Курсовая работа: Абелевы универсальные алгебры
Теорема 5 Произведение двух конгруэнции является конгруэнцией тогда и только тогда, когда они перестановочны.
Определение 1.11. Класс алгебраических систем 
называется формацией , если выполняются следующие условия:
1) каждый гомоморфный образ любой -системы принадлежит ;
2) всякое конечное поддекартово произведение -систем принадлежит .
Определение 1.12. Формальное выражение 
, где 
и 
– слова сигнатуры 
в счетном алфавите 
, называется тождеством сигнатуры . Скажем, что в алгебре 
выполнено тождество , если после замены букв любыми элементами алгебры и осуществления входящих в слова и операций слева и справа получается один и тот же элемент алгебры , т.е. для любых 
в алгебре имеет место равенство
Определение 1.13. Класс 
алгебр сигнатуры называется многообразием, если существует множество 
тождеств сигнатуры такое, что алгебра сигнатуры принадлежит классу тогда и только тогда, когда в ней выполняются все тождества из множества . Многообразие называется мальцевским , если оно состоит из алгебр, в которых все конгруэнции перестановочны.
2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр
Напомним, что класс алгебр сигнатуры называется многообразием , если существует множество тождеств сигнатуры такое, что алгебра сигнатуры принадлежит классу тогда и только тогда, когда в ней выполняются все тождества из множества .
Многообразие называется мальцевским , если оно состоит из алгебр, в которых все конгруэнции перестановочны.
Все алгебры считаются принадлежащими некоторому фиксированному мальцевcкому многообразию. Используются стандартные обозначения и определения из[2].
В данной работе конгруэнции произвольной алгебры будем обозначать греческими буквами.
Если 
– конгруэнция на алгебре , то
смежный класс алгебры по конгруэнции . 
или 
– диагональ алгебры .
Для произвольных конгруэнции и 
на алгебре будем обозначать 
множество всех конгруэнции на алгебре таких, что
тогда и только тогда, когда
Так как 
, то множество не пусто.
Следующее определение дается в работе[2].
Определение 2.1. Пусть и – конгруэнции на алгебре . Тогда централизует (записывается: 
), если на существует такая конгруэнция 
, что:
1) из
всегда следует
2) для любого элемента
всегда выполняется