Курсовая работа: Абелевы универсальные алгебры

3) если

то

Под термином «алгебра» в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие .

Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом[3], сформулируем в виде леммы.

Лемма 2.1. Пусть . Тогда:

1) существует единственная конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1;

2) ;

3) если

то

Из леммы 2.1. и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции на алгебре всегда существует наибольшая конгруэнция, централизующая . Она называется централизатором конгруэнции в и обозначается .

В частности, если , то централизатор в будем обозначать .

Лемма 2.2. Пусть , – конгруэнции на алгебре , , , . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) ;

2) , где ;

3) если выполняется одно из следующих отношений:

4) из всегда следует

Доказательство:

1) Очевидно, что – конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и .

2) – конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. Значит