Курсовая работа: Алгебраические расширения полей

(а) полином g неприводим в кольце P [x];

(b) если f (a) = 0, где f0P[x], то g делит f;

(с) фактор-кольцо P [x]/(g) изоморфно кольцу P [a];

(d) P [x]/(g) является полем;

(е) кольцо P [a] совпадает с полем P (a).

Доказательство. Допустим, что полином g приводим в кольце P [x], т. е. существуют в P[x] такие полиномы j и h, что

g = jh, 1£deg j, deg h<deg g = n.

Тогда g(a) = j(a)h(a) = 0. Так как P (a) — поле, то j( a) = О или h(a) = 0, что невозможно, поскольку, по условию, степень элемента a над P равна п.

Предположим, что f0 P[x] и f(a) = 0. По условию, g(a) = 0. Следовательно, f и g не могут быть взаимно простыми. Поскольку полином g неприводим, то g делит f.

Пусть j — гомоморфизм кольца P [x] на кольцо P [a] (y(f)=f(a) для всякого f из P[x]), рассмотренный в теореме 2.1. В силу (Ь) ядро гомоморфизма y состоит из кратных полинома g, т.е. Кег y = (g). Следовательно, фактор-кольцо P = P [x]/(g) изоморфно кольцу P [a].

Поскольку P[a]ÌP(a), то P [a] есть область целостности. Так как P@P[a], то фактор-кольцо P также есть область целостности. Нам надо показать, что любой ненулевой элемент f из P обратим в P. Пусть f — элемент смежного класса f. Так как f¹ 0, то f(a)¹0; поэтому полином g не делит полином f. Поскольку полином g неприводим, отсюда следует, что полиномы f и g — взаимно простые. Следовательно, в Р[x] существуют такие полиномы u и v, что uf + vg=1. Отсюда вытекает равенство uf = 1, показывающее, что элемент f обратим в кольце P. Итак, установлено, что фактор-кольцо P является полем.

В силу (с) и (d) P [a] является полем и поэтому P(a)ÌP[a]. Кроме того, очевидно, P[a]ÌP(a). Значит, P[a] = P(a). Следовательно, кольцо P [a] совпадает с полем P (a).

1.3.Строение простого алгебраического расширения поля.

Теорема 1.5. Пусть a — алгебраический над полем Pэлемент положительной степени n. Тогда любой элемент поля P(a) однозначно представим в виде линейной комбинации n элементов 1, a, ..., a^n-1 с коэффициентами из Р.

Доказательство. Пусть b— любой элемент поля P (a). По теореме 1.4, P(a) = P[a]; следовательно, существует в P[x] полином f такой, что

(1) b = f(a).

Пусть g — минимальный полином для a над P; в силу условия теоремы его степень равна п. По теореме о делении с остатком, существуют в P[x] полиномы h и r такие, что

(2) f = gh + r, где r = 0 или derr < derg = n , т. е. r=c₀ +c₁ x +…c_{n -1} x^{n -1} (c_i 0P). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем

(3) b = c₀ +c₁ a +…c_{n -1} a^n-1

Покажем, что элемент b однозначно представим в виде линейной комбинации элементов 1, a, ..., a^n-1 . Пусть

(4) b = d₀ +d₁ a +…d_{n -1} a^n-1 (d_i 0P)

—любое такое представление. Рассмотрим полином j

j = (с₀ – d₀ ) + (c₁ - d_i .)x + . . . + (с_n-1 –d_{n -1} )x^{n -1}

Случай, когда степень j меньше n, невозможен, так как в силу (3) и (4) j(a) = 0 и степень j меньше степени g. Возможен лишь случай, когда j = 0, т. е. с₀ = d₀ , . . . , с_n-1 = d_п-1. Следовательно, элемент b однозначно представим в виде линейной комбинации элементов 1, a,…,a^n-1 .

1.4.Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.

Задача об освобождении от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби состоит в следующем. Пусть a — алгебраический элемент степени n>1 над полем P; f и h — полиномы из кольца полиномов P [x]и h(a) ¹0. Требуется представить элемент f(a)/h(a)0P(a) в виде линейной комбинации степеней элемента a, т. е. в виде j(a),

где j0P[x].

Эта задача решается следующим образом. Пусть g — минимальный полином для a над P. Так как, по теореме 1.4, полином неприводим над P и h(a) ¹ 0, то g не делит h и, значит, полиномы h и g — взаимно простые. Поэтому существуют в P[x] такие полиномы u и v, что

uh+vg=1 (1)

Поскольку g(a) = 0, из (1) следует, что

u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a).