Курсовая работа: Алгебраические расширения полей

Определение. Расширение F поля P называется конечным, если F, как векторное пространство над P, имеет конечную размерность. Эта размерность обозначается через [F : P].

Предложение 2.1. Если a — алгебраический элемент степени n над P, то [P (a):P]=n.

Это предложение непосредственно следует из теоремы 1.5.

Определение. Расширение F поля P называется алгебраическим, если каждый элемент из F является алгебраическим над P.

Теорема 2.2. Любое конечное расширение F поля P является алгебраическим над P.

Доказательство. Пусть n-размерность F над P. Теорема, очевидно, верна, если n = 0. Предположим, что n>0. Любые n+1 элементов из F линейно зависимы над P. В частности, линейно зависима система элементов 1, a, ..., aⁿ , т. е. существуют в P такие элементы с₀ , с_1,…, c_n не все равные нулю, что с₀ ×1+ с_{1 a} +…+c_n aⁿ = 0.

Следовательно, элемент a является алгебраическим над P.

Отметим, что существуют алгебраические расширения поля, не являющиеся конечными расширениями.

2.2. Составное алгебраическое расширение поля.

Расширение F поля P называется составным, если существует

возрастающая цепочка подполей Li поля F такая, что

P = L₀ —L₁ —…—L_k = Fи k>1.

Теорема 2.3. Пусть F — конечное расширение поля Lи L — конечное расширение поля P. Тогда Fявляется конечным расширением поля Pи

[F : P] = [F : L]@[ L : P].

Доказательство. Пусть

(1) a₁ ,…,a_m — базис поля L над P (как векторного пространства) и

(2) b₁ ,…,b_n — базис поля F над L . Любой элемент dиз F можно линейно выразить через базис:

(3) d = l₁ b₁ +...+l_n b_n (l_k 0L).

Коэффициенты 1_k можно линейно выразить через базис (1):

(4) l_k = p_1k a +…+ p_mk a_m (p_ik 0P).

Подставляя выражения для коэффициентов l_k в (3), получаем

d = å p_ik a_i b_k .

^{i 0 {1,…,m}}

^{k 0 {1,…,n}}

Таким образом, каждый элемент поля Fпредставим в виде линейной комбинации элементов множества B, где

B = { a_i b_k ½{1,..., m}, k0 {l,..., n}}.

Отметим, что множество B состоит из nm элементов.

Покажем, что B есть базис F над полем P. Нам надо показать, что система элементов множества B линейно независима. Пусть

(5) åc_ik a_i b_k = 0,

^{I, k}