Курсовая работа: Алгебраические расширения полей

f(x)= a⁶ -9a⁴ -4a³ +27a² -36a-23=0

с рациональными коэффициентами. Это значит что a — алгебраическое число.

2.5. Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел.

Теорема 2.9. Поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.

Доказательство. Пусть A [x] — кольцо полиномов от x над полем A алгебраических чисел. Пусть

f = а₀ + а₁ x+... + а_n хⁿ (а₀ ,…, а_n 0A)

— любой полином положительной степени из A[x]. Нам надо доказать, что f имеет корень в А. Так как f0C[x] и поле E алгебраически замкнуто, то f имеет корень в E т. е. существует такое комплексное число с, что f(с) = 0. Пусть L= Q(а₀ , ..., а_n ) и L (с) — простое алгебраическое расширение поля Lс помощью с. Тогда Q—L—L (c) есть конечное алгебраическое расширение поля L. По теореме 2.2, Lесть конечное расширение поля Q. В силу теоремы 2.3 L (с) является конечным расширением поля Q. Отсюда, по теореме 2.2, следует, что поле L (с) является алгебраическим расширением поля Q и, значит, c0A. Таким образом, любой полином из A[x] положительной степени имеет в A корень, т. е. поле A алгебраически замкнуто.

3. Сепарабельные и несепарабельные расширения.

Пусть D — поле.

Выясним, может ли неразложимый в D[x] многочлен обладать кратными корнями?

Для того чтобы f(x) обладал кратными корнями, многочлены f(x) и fN(x) должны иметь общий отличный от константы множитель, который можно вычислить уже в D[x]. Если многочлен f(x) неразложим, то ни с каким многочленом меньшей степени f(x) не может иметь непостоянных общих множителей, следовательно, должно иметь место равенство f '(x) = 0.

Положим

_{n n}

f(x) =3a_n xⁿ fN(x) =3na_n x^{n -1}

^{0 1}

Так как fN(x) = О, в нуль должен обращаться каждый коэффициент:

na_n = 0 (n = l, 2, ..., n).

В случае характеристики нуль отсюда следует, что a_n = 0 для всех n¹ 0. Следовательно, непостоянный многочлен не может иметь кратных корней. В случае же характеристики p равенства na_n = 0 возможны и для n¹ 0, но тогда обязаны выполняться сравнения

nº0(p).

Таким образом, чтобы многочлен f(x) обладал кратными корнями, все его слагаемые должны обращаться в нуль, за исключением тех a_n xⁿ , для которых nº0(p), т. е. f(x) должен иметь вид

f(x) = a₀ +a_p x^p +a_2p x^2p +…

Обратно: если f(x) имеет такой вид, то fN(x)=0.

В этом случае мы можем записать:

f(x) = j(x^p ).

Тем самым доказано утверждение: В случае характеристики нуль неразложимый в D [x] многочлен f (x) имеет только простые корни, в случае оке характеристики p многочлен f(x) (если он отличен от константы) имеет кратные корни тогда и только тогда, когда его можно представить как многочлен j от x^p .

В последнем случае может оказаться, что j(x) в свою очередь является многочленом от x^p . Тогда f(x) является многочленом от x^{p 2} . Пусть f(x) — многочлен от x^pe

f(x) = y( x^pe ),

но не является многочленом от x^{pe +1} . Разумеется, многочлен y(у) неразложим. Далее, y¢(у) ¹ 0, потому что иначе y(у) имел бы вид c(у^р ) и, следовательно, f(x) представлялся бы в виде c(х^pе+1 ), что противоречит предположению. Следовательно, y(у) имеет только простые корни.

Разложим многочлен y(у) в некотором расширении основного поля на линейные множители: _m

y(y) = J(y-b_i ).

¹