Курсовая работа: Алгебраические расширения полей

Лемма 3. Если поле P вполне упорядочено и заданы многочлен f(x) степени n и n символов a₁ ..., a_n то поле P (a₁ ,..., a_n ), в котором f(x) полностью разлагается на линейные множители

_n

Õ(x-a_i ), строится единственным образом и является вполне

¹

упорядоченным. Поле P в смысле этого порядка является отрезком.

Доказательство. Мы будем присоединять корни a₁ ..., a_n последовательно, вследствие чего из P = Р₀ последовательно будут возникать поля Р₁ , ..., Р_n . Предположим, что Р_i-1 = P(a₁ ..., a_i-1 ) — уже построенное поле и что P — отрезок в Р_i-1 ; тогда Р_i будет строиться так.

Прежде всего в силу леммы 2 кольцо многочленов Р_i-1 [x] вполне упорядочивается. Многочлен f разлагается в этом кольце на неразложимые множители, среди которых на первом месте будут стоять x - a₁ ,..., x - a_i-1 ; среди остальных множителей пусть f_i (x) будет первым в смысле имеющегося порядка. Вместе с символом a_i обозначающим корень многочлена f_i (x), мы определяем поле Р_i = P_{i -1} как совокупность всех сумм

_h-1

åc_l a^l _i

⁰

где h —степень многочлена f_i (x). Если f_i (x) линеен, то, конечно, мы полагаем Р_i = P_{i -1} ; символ a_i в этом случае не нужен. Построенное поле вполне упорядочивается с помощью следующего условия: каждому элементу поля

_h-1

åc_l a^l _i

⁰

сопоставим многочлен

_h-1

åc_l x^l _i