Курсовая работа: Алгебраические расширения полей

¹

расширении нет большего числа таких изоморфизмов поля S.

Доказательство. Для m = 1 теорема уже была доказана выше. Предположим ее справедливой для расширения S₁ = D(a₁ , ..., a_m-1 ): в некотором подходящем расширении

_m-1

W₁ есть ровно Õn_i ¢изоморфизмов поля S над D.

¹ _m-1

Пусть S₁ ®S₁ — один из этих Õn_i ¢изоморфизмов. Утверждается, что в подходящим образом выбранном поле W он может быть продолжен до изоморфизма S = S₁ (a_m ) @S= S(a_m ) не более чем n¢_m способами.

Элемент a_m удовлетворяет некоторому уравнению f₁ (x) = 0 над S₁ с n¢_m различными корнями. С помощью изоморфизма S₁ ®S₁ многочлен f₁ (x) переводится в некоторый многочлен f₁ (x). Но тогда f₁ (x) в подходящем расширении имеет опять-таки n¢_m различных корней и не больше. Пусть a_m — один из этих корней. В силу выбора элемента a_m изоморфизм S₁ @S₁ продолжается до изоморфизма S (a_m ) @S (a_m ) с a_m ®a_m одним и только одним способом: действительно, это продолжение задается формулой

åc_k a_m ^k ®åc_k a_m ^k

Так как выбор элемента a_m может быть осуществлен n'_m способами, существует n'_m продолжений такого сорта для выбранного изоморфизма å₁ ®å₁

Так как в свою очередь этот изоморфизм может быть выбран

_m-1

Õn'_i способами,

¹

то всего существует (в том поле W, в котором содержатся все корни всех рассматриваемых уравнений)

_{m-1 m}

Õ n'_i ×n'_m = Õ n'_i

^{1 1}

изоморфизмов расширения S над полем D, что и требовалось доказать.

Если n_i — полная (нередуцированная) степень элемента a_i над D (a₁ ,...,a_i-1 ), то n_i равно степени расширения D (a₁ , ... , a_i ) поля D(a₁ , ... , a_i-1 );

следовательно, степень (S : D) равна

_m

Õn'_i .

¹

Если сравнить это число с числом изоморфизмов

_m

Õn'_i .

¹

то получится следующее предложение: