Курсовая работа: Алгебраические расширения полей

(6) с_{1 k} a ₁ +...+с_mk a_m = 0 (k = 1,..., n).

Поскольку элементы a ₁ , ..., a_m линейно независимы над P, то из (6) следуют равенства

c_{1 k} = 0,…,c_mk = 0 (k = 1, ..., n),

показывающие, что все коэффициенты в (5) равны нулю. Таким образом, система элементов B линейно независима и является базисом F над P.

Итак установлено, что [F , P] = nm = [F: L]×[L: P]. Следовательно, F является конечным расширением поля P и имеет место формула (I).

Определение. Расширение F поля P называется составным алгебраическим, если существует возрастающая цепочка подполей поля P

P = L₀ —L₁ —…—L_k = Fи k>1 (1)

такая, что при i = 1,..., k поле L_i является простым алгебраическим расширением поля L_i-1 .Число k называется длиной цепочки (1).

Следствие 2.4. Составное алгебраическое расширение Fполя P является конечным расширением поля P.

Доказательство легко проводится индукцией по длине цепочки (1) на основании теоремы 2.3.

Теорема 2.5. Пусть a₁ ,..., a_k — алгебраические над полем P элементы поля F . Тогда поле P(a₁ ,..., a_k ) является конечным расширением поля P.

Доказательство. Пусть

L ₀ = P, L ₁ = P [a₁ ], L ₂ = P [a₁ , a₂ ,],..., L_k = P [a₁ ,..., a_k ].

Тогда L₁ = P [a₁ ] есть простое алгебраическое расширение поля L₀ ; L₂ есть простое алгебраическое расширение поля L₁ , так как

L₂ = P [a₁ ,a₂ ] = (P [a₁ ])[a₂ ] = L₁ [a₂ ] = L₁ (a₂ ) и т. д.

Таким образом,

P = L₀ —L₁ —…—L_k = F

где L_i = L_{i -1} (a_i ) при i = 1, ..., k, т. е. каждый член цепочки (2) является простым алгебраическим расширением предшествующего члена цепочки. Итак, поле F является составным алгебраическим расширением поля P. Следовательно, в силу следствия 2.4 поле Fявляется конечным расширением поля P .

Следствие 2.6. Составное алгебраическое расширение поля является алгебраическим расширением этого поля.

2.3. Простота составного алгебраического расширения поля.

Теорема 2.7. Пусть числовое поле F есть составное алгебраическое расширение поля P . Тогда F является простым алгебраическим расширением поля P.

Доказательство. Пусть P—L—F , причем L = P(a), F = L(b) и, следовательно, F = P(a, b).

Пусть f и g — минимальные полиномы над P соответственно для чисел a и b и degf = m, degg = n. Полиномы f и g неприводимы над P и, следовательно, не имеют в поле E комплексных чисел кратных корней. Пусть

a = a₁ ,..., a_m — корни полинома f в C и

b = b₁ ,..., b_n — корни полинома g в C.

Рассмотрим конечное множество М:

M = {(a_i -a)/(b-b_k )½i0{1,…,m}, k0{2,…,n}}.

Поскольку P— числовое множество (и, значит, бесконечное), то в P существует число c, отличное от элементов множества М, c0P(М, cóМ. Пусть

(1) g = a + cb.

Тогда выполняются соотношения