Математика / Курсовая работа: Алгебраические расширения полей

Курсовая работа: Алгебраические расширения полей

В самом деле, в случае равенства a +сb = a_i +сb_k было бы

с = (a_i -a)/(b-b_k ) 0M

что противоречило бы выбору числа c.

Пусть F₁ = P (g) и F₁ — кольцо полиномов от x. Пусть h = f(g - cx) — полином из F₁ [x] (g, c0P(g) = F₁ ). Покажем, что x-b есть наибольший общий делитель полиномов h и g в кольце F₁ [x]. Так как g(b) = 0, то x-b делит g в E[x]. Далее, в силу (1)

h(b) = f(g-cb) = f(a) = 0.

Поэтому x-b делит полином h в E[x]. Таким образом, x-b есть общий делитель h и g в кольце E[x].

Докажем, что g и h в С не имеет корней, отличных от b. В самом деле, допустим, что b_k , k0{2 ,..., n}, есть их общий корень. Тогда h(b_k ) = f(g - сb_k ) = 0. Следовательно, найдется такой индекс i0{1 ,..., m}, что g = a_i +cb_k (k>1), а это противоречит (2). На основании этого заключаем, что x-b есть наибольший общий делитель g и h в E[x]. Поскольку x - b — нормированный полином, то отсюда следует, что x - b является наибольшим общим делителем g и h в кольце F₁ [x]. Поэтому

(x-b) 0F₁ [x] и b0F₁ = P(g).

Кроме того, a = g - cb0F₁ . Таким образом,

F = P(a, b)ÌF₁ , F₁ ÌF.

Следовательно, F = P(g). Далее, так как g (как и всякий элемент из F) есть алгебраический элемент над Pи F= P (g), то поле F= P (g) является искомым простым алгебраическим расширением поля P.

2.4. Поле алгебраических чисел.

В классе подполей поля комплексных чисел одним из наиболее важных является поле алгебраических чисел.

Определение. Алгебраическим числом называется комплексное число, являющееся корнем полинома положительной степени с рациональными коэффициентами.

Отметим, что алгебраическое число есть любое комплексное число, алгебраическое над полем Q. В частности, любое рациональное число является алгебраическим.

Теорема 2.8. Множество A всех алгебраических чисел замкнуто в кольце E = +С, +, —, •, 1, комплексных чисел. Алгебра A = +А, +, —, •, 1, является полем, подполем поля E.

Доказательство. Пусть a и b — любые элементы из А. По следствию 2.6, поле Q(a, b) является алгебраическим над Q. Поэтому числа a+b, -а, ab, 1 являются алгебраическими, т. е. принадлежат множеству A. Таким образом, множество А замкнуто относительно главных операций кольца E. Поэтому алгебра A — подкольцо кольца E — является кольцом.

Кроме того, если a —ненулевой элемент из А, то a^-1 0Q (a, b) и поэтому а^-1 принадлежит А. Следовательно, алгебра A есть поле, подполе поля E.

Определение. Поле A = +А, +, —, •, 1, называется полем алгебраических чисел.

Пример.

Показать, что число a= является алгебраическим.