Курсовая работа: Алгебраические расширения полей

Пример.

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби

.

Решение. В нашем случае a=. Минимальным многочленом этого числа является

p(x)=x³ -2.

Многочлены p(x) и g(x)=-x² +x+1 взаимно просты. Поэтому существуют такие многочлены j и y, что

pj+gy=1.

Для отыскания j и y применим алгоритм Евклида к многочленам p и g:

-x³ -2 -x² +x+1 -x² +x+1 2x-1

x³ -x² -x -x-1 -x² +1/2x -1/2x+1/4

x² +x-2 1/2x+1

x² -x-1 1/2x-1/4

2x-1 5/4

Таким образом,

p=g(-x-1)+(2x-1),

g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4.

Откуда находим

(2x-1)=p+g(x+1),

5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4)

или

p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x² +x-1))=1,

p1/5(2x-1)+g(2/5x² +1/5x+3/5)=1.

Таким образом,

y(x)= (2/5x² +1/5x+3/5).

Тогда

y(a)=y()=.

Следовательно

.

2.Составное алгебраическое расширение поля.

2.1. Конечное расширение поля.

Пусть P — подполе поля F. Тогда мы можем рассматривать F как векторное пространство над P, т. е. рассматривать векторное пространство +F, +, {w_l ½l0P},,