Курсовая работа: Асимптотика решений дифференциальных уравнений
Ряд Тейлора может расходиться на любом отрезке
, но он будет асимптотическим рядом для функции
. Действительно,
(2.3)
Пример 2 . Рассмотрим функцию
Интегрируя по частям, получаем
Таким образом,
Ряд расходится при любом
, но является асимптотическим для функции
, так как
Замечание . Асимптотический ряд может быть полезен при вычислении значений функции при малых или больших значениях параметра .
Рассмотрим функцию примера 2. Вычисляя интеграл численно, получаем при
Вычисляя частичные суммы асимптотического ряда и оценивая разности , получаем первые 20 чисел
0.0015633, -0.0004366, 0.0001633, -0.0000766, 0.0000433, -0.0000287, 0.0000217,
-0.000186, 0.0000177, -0.0000186, 0.00002133, -0.0000266, 0.0000357, -0.0000515,
0.0000793, -0.0001299, 0.0002257, -0.0004145, 0.0008020
Наилучшее приближение дает девятая частичная сумма.
На рис. 1 изображен графически характер приближения частичных сумм к значению. На горизонтали оси откладывается номер
, по вертикали частичная сумма
.
рис. 1
Пусть банаховы пространства
и при
задано семейство операторов
. Рассмотрим при
уравнение
. Допустим, что это уравнение при каждом
имеет единственное решение