Курсовая работа: Асимптотика решений дифференциальных уравнений

Из последнего соотношения следует:

Так как в противном случае

что противоречит определению

Оценим

В силу (2.19), (2.20) и (2.22),

или, по формуле конечных приращений,

(применимость формулы конечных приращений следует из (2.24)). Следовательно, в силу ограниченности функций w ( v ), В (φ, v , е) и всех их частных производных в области значений, по (2.33), (2.34) имеем:

Поэтому

Из (2.36) следует:

Соотношения (2.33), (2.34), (2.37), (2.38) полностью доказывают теорему об усреднении (м° = max (М₅ , М_в ), е₀ = min(a,^)).

Вернемся к доказательству теоремы 1. Так как система (2.15) типа (2.19), то, по теореме об усреднении, существует число е₀ > 0 такое, что при любых eg (0, е₀ ], t 6 [*<>> L ] решение {ф ( t , е), h ( t , е), z ( t , г)} системы (2.15) с начальными условиями

и решение {ф ( t , e), h ( t ), z ( t )} усредненной системы (2.17) с теми же начальными условиями

связаны следующим образом: точка { h ( t , e), z ( t , г)} остается в некоторой и выполняются соотношения:

окрестность решения)). А так как, по (2.13),