Курсовая работа: Асимптотика решений дифференциальных уравнений

Метод построения решения уравнения (1.5) при п = 2 с любой наперед заданной точностью в случае, когда известно общее решение (в форме разложения в тригонометрический ряд Фурье) соответствующего невозмущенного уравнения был дан в работе Ю.А. Митрополъским.

Задача исследования системы (1.3) с точки зрения работ (³ ) — (⁴ ) и вывода из нее известных результатов В.М. Волосова [работы (⁸ ) — (¹² )] относительно уравнения (1.5) была поставлена Л.С. Понтрягиным в его докладе на семинаре В.И. Смирнова в Ленинграде в середине апреля 1957 г.

Выражаю глубокую благодарность Л.С. Понтрягину за ценные указания, советы и постоянное внимание к настоящей работе.

1.1 Асимптотическое поведение решений системы

Система (1.3) в векторной форме имеет вид:

глк, в быстром времени

При е = 0 система (2.1') переходит в гамильтонову систему

являющуюся системой «быстрых движений» для системы (2.1). 1. Изучение системы (2.2). Пусть функции

определены и непрерывны вместе со всеми своими первыми частными производными в некоторой области G эвклидова пространства E ₂ + i переменных х, у, zi ,..., zi . Как известно, система (2.2) имеет первый интеграл

и (2.3) представляет собой семейство всех фазовых траекторий системы(2.2) на кажтгой плоскости z = constобласти G .

Возьмем некоторую точку (х, у, z ) из G, не являющуюся положением равновесия системы (2.2). По известной теореме существования и единственности решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений, через эту точку пройдет только одна фазовая траектория системы

(2.2). Уравнение этой траектории запишется в виде:

(см. (2.3)).

Докажем следующее утверждение.

Пусть траектория (2.4) замкнута и целиком лежит внутри области G . Тогда в пространстве E ₂ + i существует некоторая окрестность G этой траектории (2.4) такая, что

1)фазовые траектории системы (2.2), проходящие через точки G , замкнуты и целиком лежат в G;

2)уравнение (2.3) при каждой паре (/г, z ) определяет одну и только одну фазовую траекторию системы (2.2), расположенную в G;

3)на каждой фазовой траектории (2.3) системы (2.2), лежащей в G, можно выбрать по одной точке , гладко зависящей от

В самом деле, в силу известных свойств гамильтоновой системы, в пространстве E ₂ + i существует некоторая окрестность G траектории (2.4) ( Gd G), в которой выполняется условие 1). Выделим из G ту окрестность траектории (2.4), в которой выполняются и условия 2), 3). Для этого возьмем поверхность, пересекающую каждую плоскость z = const области G

о о по нормали в точке (х, у, z ) к фазовой траектории системы (2.2), проходящей через эту точку. Уравнение этой поверхности имеет вид:

Следовательно, точка (х, у, z , h ) эвклидова пространства £"₂ +z переменных х, у, z , h удовлетворяет системе