Курсовая работа: Чисельні методи розвязування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

Точність розв'язку крайової задачі методом колокацій залежить від типу базисних функцій . У конкретних задачах вибір цих функцій слід здійснювати з урахуванням апріорної інформації про розв'язки задачі або на основі емпіричних даних. Нехай - це лінійна функція

, (11.41)

параметри якої визначимо таким чином, щоб вона задовольняла неоднорідні граничні умови (11.5), тобто з системи рівнянь

,

. (11.42)

Функції можна задати у вигляді:

, . (11.43)

Очевидно, що за будь-яких функція (11.43) задовольняє умову (11.37, а). Значення , за якого буде задовольнятися друга умова (11.37, б), таке:

. (11.44)

Якщо в умовах (11.37, а, б) , то можливий інший вибір, а саме:

,

. (11.45)

4.Метод Гальоркіна

Як і в методі колокацій, у методі Гальоркіна наближений розв'язок крайової задачі (11.4), (11.5) шукаємо у вигляді

(11.48)

де , - лінійно незалежні, двічі диференційовані базисні функції, визначені на відрізку . Функція повинна задовольняти задані граничні умови (11.37, а), а функції , - відповідні однорідні граничні умови (11.37, 6).

Необхідно, щоб система базисних функцій , була ортогональною на відрізку , тобто

при і ,

і повною. Остання вимога означає, що не повинно існувати ніякої іншої відмінної від нуля функції, яка ортогональна до всіх функцій , .

Використовуючи наближений розв'язок (11.48) знайдемо нев'язку:

(11.49)

Коефіцієнти мають бути такими, щоб значення інтеграла від квадрата нев'язки

було найменшим.

Це досягається лише в тому випадку, коли нев'язка ортогональна до всіх базисних функцій . Умову ортогональності запишемо у вигляді:

,

або

, (11.50)

Таким чином, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для обчислення коефіцієнтів

5.Метод найменших квадратів