Курсовая работа: Чисельні методи розвязування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

з різниці яких отримуємо шуканий результат:

,

(11.21)

Знайдемо нев’язку різницевого рівняння

.

Оскільки є точним розв'язком рівняння (11.4),

та . (11.22)

Тому різницеве рівняння (11.21) апроксимує вихідне диференціальне рівняння

(11.4) також із другим порядком відносно .

Тепер апроксимуємо граничні умови скінченними різницями:

, (11.23)

Знайдемо похибку апроксимації граничних умов. Нев’язки граничних умов (11.23) мають вигляд:

, .

Асиметрична апроксимація першої похідної на відміну від симетричної має глобальну похибку першого порядку відносно , тобто . Це безпосередньо випливає з розкладання в ряд Тейлора

,

із якого отримуємо

,

Отже, граничні умови (11.23) апроксимуються з першим порядком за к. Порядок їх апроксимації можна підвищити до другого, наприклад, використовуючи співвідношення

, (11.24)

похибка апроксимації яких також пропорційна , як і для випадку симетричної апроксимації похідних. Це випливає із порівняння двох рядів Тейлора:

Якщо перший вираз помножити на 4 і відняти його від другого, отримаємо:

.

Після його підстановки у формулу (11.24) знаходимо нев'язку у вигляді:

тобто крайова умова апроксимується з другим порядком відносно .

У такий же спосіб доводиться, що і друга гранична умова (11.23) апроксимується з другим порядком відносно .