Курсовая работа: Чисельні методи розвязування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

, (11.54)

де , - лінійно незалежні, двічі диференційовані базисні функції, визначені на відрізку . Функція повинна задовольняти задані граничні умови (11.37, а), а функції , - відповідні однорідні граничні умови (11.38, б).

Підставимо наближений розв'язок (11.54) у рівняння (11.4) і знайдемо нев'язку:

, (11.55)

абсолютна величина якої для повинна бути якомога меншою. Тому вимагатимемо, щоб виконувалася умова

(11.56)

Значення інтегралу будуть мінімальними за умов:

,

,

,

… … … …

.

На основі цих умов формується система лінійних рівнянь для обчислення коефіцієнтів .

6.Метод скінченних елементів

Метод Гальоркіна накладає певні обмеження на вибір системи базисних функцій, які залежать від граничних умов крайової задачі. Це обмеження значно ускладнює реалізацію методу, особливо під час розв'язання задач математичної фізики. Це обмеження можна подолати, якщо для апроксимації розв'язку використовувати систему простих базисних функцій, які залежать від координат вузлів на відрізку . У цьому випадку розв'язання крайової задачі зводиться до формування і розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, тому метод отримав назву методу скінченних елементів. Його часто використовують для розв'язання дво- та тривимірних диференціальних рівнянь із частинними похідними.

Шукатимемо наближений розв'язок задачі

, (11.59)

як лінійну комбінацію простих однотипних функцій

, (11.60)

що мають вигляд

(11.61)

і, як правило, називаються фінітними. Графік однієї з таких функцій наведено на рис. 2, де видно, що функція не дорівнює нулю тільки на інтервалі . Щодо множини фінітних функцій, які задаються на відрізку відомо, що вони лінійно незалежні (більш того, ортогональні в спеціальній енергетичній нормі) і утворюють повну систему в просторі .Це дає підставу використати їх як базисні функції в методі Гальоркіна.

рис. 2. Графік фінітної функції.

Запишемо умову ортогональності (11.50):

, (11.62)

і отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження невідомих .Праві частини цих рівнянь позначимо через і отримаємо для їх обчислення вираз

(11.63)

Коефіцієнти системи рівнянь (11.62) позначимо через