Курсовая работа: Чисельні методи розвязування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

Щоб знайти єдиний розв'язок звичайного диференціального рівняння, необхідно задати деякі допоміжні умови, що використовуються для обчислення інтегрування. Для рівняння n-ого порядку потрібно п таких умов. Якщо ці умови задаються для одного значення незалежної змінної (зокрема, для одного кінця інтервалу, на якому необхідно знайти розв'язок), то говорять про початкові умови для задачі Коші. Якщо ж додаткові умови задаються для значень незалежної змінної на різних кінцях інтервалу, то мають на увазі крайову задачу і граничні умови для неї.

Двоточкова крайова задача для рівняння другого порядку має такий вигляд:

(11.1)

із граничними умовами

(11.2)

Перш ніж застосовувати будь-який чисельний метод, варто перевірити умови, що гарантують існування розв'язку цієї задачі. Наведена нижче теорема визначає загальні умови, що забезпечують існування й одиничність розв'язку.

Теорема. Припустимо, що неперервна в області

І що

і

Теж неперервні на. Якщо існує постійна, для якої виконуються умови

для всіх

для всіх (11.3)

то крайова задача (11.1) (11.2) має єдиний розв'язок для .

Найчастіше зустрічаються і найкраще вивчені двоточкові лінійні крайові задачі виду

, (11.4)

, (11.5)

де

,

Умови, які повинні задовольняти функції , і , для того щоб задача (11.4), (11.5) мала єдиний розв'язок, випливають із теореми як наслідок.

Наслідок. Якщо і неперервні на і , то задача (11.4), (11.5) має єдиний розв'язок на .

Граничні умови (11.5) визначають третю крайову задачу для рівняння (11.4). Якщо припустити, що , то умови (11.5) визначають першу крайову задачу, а коли - другу.

Точне (аналітичне) розв'язання крайових задач - більш складна процедура, ніж знаходження розв'язку задачі Коші. Це спричинило появу великої кількості наближених методів. Ці методи можна розділити на дві групи: наближено-аналітичні методи, що дають наближений розв'язок крайової задачі на відрізку у вигляді конкретної аналітичної функції, і чисельні методи, що визначають розвозок у вигляді табличної функції, заданої на сітці відрізка .

Метод скінченних різниць

Ідея методу скінченних різниць полягає в тому, що похідні в диференціальному рівнянні (11.4) і граничних умовах (11.5) заміняються їх скінченними різницями. Для цього спочатку введемо на відрізку сітку з кроком :

.

Позначимо через точний розв'язок задачі (11.1) у і-му вузлі сітки, а через - наближений розв'язок у цій точці. Заміняючи в кожному внутрішньому вузлі сітки похідні різницями, отримаємо різницеві рівняння:

,

Симетричні різницеві апроксимації похідних першого і другого порядків мають похибку другого порядку відносно , тобто . Це легко довести на основі розкладання в ряд Тейлора точного розв'язку рівняння. Дійсно, для вузлів та маємо