Курсовая работа: Численные методы

где і - единичные матрицы соответствующей размерности, а квадратные матрицы и имееют вид:

Обративм внимание на то, что матрица уже нормальную форму Фробениуса, и поэтому сомножитель просто развертывается в виде многочлена с коэффциентами, равными элементам первой строки.

Сомножитель , åñòü характеристический определитель матрицы . Для развертывания можн опять применять метод Данилевского, приводя матрицу подобными преобразованиями к нормальной форме Фробениуса.

Предположим теперь, что матрица А подобным преобразованиям

уже приведена к нормальной форме Фробениуса. Решая характеристическое уравнение

,

находим одним из известных методов его корни которые являются собственными значениями матрицы Р и исходной матрицы А .

Теперь стоит задача отыскать собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям, т.е. векторы такие, что

Решим ее следующим образом: найдем собственные векторы матрицы Р , а затем по определенному соотношению я пересчитаем собственные векторы матрицы А . Это соотношение дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА . Пусть є есть собственное значение , а есть соответствующий собственный вектор матрицы Р , которая подобна матрице А , т.е.

Тогда есть собственный вектор матрицы А , соответствующий собственному значению

Доказательство. Тривиально следует из того, что

Домножая левую и правую часть этого равенства слева на S ,

имеем

А это и означает, что -собственный вектор матрицы А ,

отвечающий собственному значению

Íàéäåì ñîáñòâåííûé вектор матрицы Р , которая имеет нормальную форму Фробениуса и подобна матрице А. Записывая в развернутой форме, имеем

или

В этой системе одна из переменных может быть сделана свободной и ей может быть придано произвольное значение. В качестве таковой возьмем и положим

Тогда последовательно находим

,