Курсовая работа: Численные методы

Переставляя в матрице А строки с номерами l и m, получим матрицу , у которой угловой минор порядка m-1 имеет вид

и отличается от (23) только перестановкой строк. Следовательно, этот минор не равен нулю и мы приходим к рассмотренному выше случаю.

Теорема доказана.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ МЕТОДОМ ГАУССА С ВЫБОРОМ ГЛАВНОГО ЭЛЕМЕНТА.

Одновременно с решением системы линейных алгебраических уравнений

можно вычислить определитель матрицы А.

Пусть в процессе исключения найдено распожение

т.е. построены матрицы L èU . Тогда

и, таким образом, произведение диагональных елементов матрицы L (ведущих, главных елементов метода исключения) равно определителю матрицы РА. Поскольку матрицы РА и А отличаются только перестановкой строк, определитель матрицы РА может отличаться от определителей матрицы А только знаком.

А именно,

Таким образом, для вычисления определителя необходимо знать, сколько перестановок было осуществлено в процессе сключения.

Если матрица А выроджена, то при использовании метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу на некотором шаге исключения К все элементы которого столбца, находящиеся ниже главной диагонали и на ней, окажутся равными нулю.При этом дальнейшее исключение становится невозможным и программа должна выдать информацию о том, что определитель матрицы равен нулю.

ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ.

Нахождение матрицы, обратной матрице А , еквивалентно решению матричного уравнения

(1)

где Е - единичная матрица, X - искомая квадратная матрица.

Уравнение (1) можно записать в виде системы уравнений

(2)

где

Можно заметить, что система (2) распадается на m независимых систем уравнений с одной и той же матрицей А , но с различными правыми частями. Эти системы имеют

вид ( фиксируем j ) :

(3)

где у вектора - столбца равна единице j-та компонента и равны нулю остальные компоненты.

Например, для матрицы второго порядка система (2) распадается на две независимые системы:

Äëÿ ðåøåíèÿ систем (3) используется метод Гаусса ( обычный или с выбором главного элемента).