Курсовая работа: Численные методы

1. Основная идея метода. Может оказаться, что система

Ax=f (1)

имеет единственное решение, хотя какой-либо из угловых миноров матрицы А равен нулю. В этом случае обычный метод Гаусса оказывается непригодным, но может быть применен метод Гаусса с выбором главного элемента.

Основная идея метода состоит в том, чтобы на очередном шаге исключать не следующее по номеру неизвестное, а тонеизвестное, коэффициент при котором является наибольшим по модулю. Таким образом, в качестве ведущего элемента здесь выбирается главный , т.е. наибольший по модулю элемент. Тем самым, если , то в процессе вычислений не будет происходить деление на нуль.

Различные варианты метода Гаусса с выбором главного элемента проиллюстрируем на примере системы из двух уравнений

(2)

Предположим, что . Тогда на первом шаге будем исключать переменное . Такой прием эквивалентен тому, что си­стема (2) переписывается в виде

(3)

и к (3) применяется первый шаг обычного метода Гаусса. Указанный способ исключения называется методом Гаусса с выбором главного элемента по строке . Он эквивалентен применению обычного метода Гаусса к системе, в которой на каждом шаге исключения про­водится соответствующая перенумерация переменных.

Применяется также метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу. Предположим, что . Перепишем систему (2) ввиде

и к новой системе применим на первом шаге обычный метод Гаусса. Таким образом, метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу эквивалентен применению обычного метода Гаусса к системе, в которой на каждом шаге исключения проводится соответствующая перенумерация уравнений.

Иногда применяется и метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице, когда в качестве ведущего выбирается максималь­ный по модулю элемент среди всех элементов матрицы системы.

2. Матрицы перестановок. Ранее было показано, что обычный метод Гаусса можно записать в виде

где -элементарные нижние треугольные матрицы. Чтобы получить аналогичную запись метода Гаусса с выбором главного элемента, необходимо рассмотреть матрицы перестановок.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Матрицей перестановок Р называется квад­ратная матрица, у которой в каждой строке и в каждом столбце только один элемент отличен от нуля и равен единице.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Элементарной матрицей перестановок на­зывается матрица, полученная из единичной матрицы перестановкой к -й и l -й строк.

Например, элементарными матрицами перестановок третьего по­рядка являются матрицы

Можно отметить следующие свойства элементарных матриц пере­становок, вытекающие непосредственно из их определения.

1) Произведение двух (а следовательно, и любого числа) элементар­ных матриц перестановок является матрицей перестановок (не обязательно элементарной).

2) Для любой квадратной матрицы А матрица отличается от А перестановкой к -й иl -é ñòðîê.

3) Для любой квадратной матрицы А матрица отлича­ется от А перестановкой к -го и l -го столбцов.

Применение элементарных матриц перестановок для описания метода Гаусса с выбором главного элемента по столбцу можно пояс­нить на следующем примере системы третьего порядка:

(4)

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--