Курсовая работа: Численные методы

Характеристическое уравнение для матрицы Р имеет простой вид

т.е. коэффициенты при степенях характеристического полинома непосредственно выражаются через элементы первой строки матрицы Р.

Приведение матрицы А к нормальной форме Фробениуса Р осуществляется последовательно построкам, начиная с последеней строки.

Приведем матрицу А

подобным преобразование к виду

Пусть Можн проверить,что такой вид имеет матрица , которая равна

где

Слудующий шаг - приведение матрицы подобным преобразованием к виду , где и вторая снизу строка имеет единицу в -ом столбце, а все остальные элементы строки равны нулю:

Если то можно проверить, что такой вид имеет матрица :

где

Таким образом

Далее процедура аналогичная, если на кождом шаге в очередной строке, на месте которого подобным преобразованием нужно получить единицу, не равную нулю.

В этом случае ( будем называт его регулярным ) нормальная формула Фробениуса будет получена за ( m -1 ) шагов и будет иметь вид

Рассмотрим нерегулярный случай, когда матрица, полученная в результате подобных преобразований приведена уже к виду

и элемент . Таким образом обычная процедура метода Данилевского не подходит из-за необходимости деления на ноль.

В этой ситуации возможно два случая. В первом случае к-й

строке левее элемента есть элемент

Тогда домножая матрицу слева и справа на элементарную матрицу перестановок , получаем матрицу

,

у которой по сравнению с матрицей переставлены l -я и (k -1 )- я строка l - й и ( k -1)- й стодбец. В результате на необходимом нам месте оказывается ненулевой элемент , уже преобразованная часть матрицы не меняется, можно применять обычный шаг метода Данилевского к матрице . Она подбна матрице (и, следовательно, исходной матрице А ), т.к. елементарная матрица перестановок совпадает со своей обратной, т.е.