Курсовая работа: Численные методы

(5)

Максимальный элемент первого столбца матрицы А находится во вто­рой строке. Поэтому надо поменять местами вторую и первую строки и перейти к эквивалентной системе

(6)

Систему (6) можно записать в виде

(7)

т.е. она получается из системы (4) путем умножения на матрицу

пе­рестановок

Далее, к системе (6) надо применить первый шаг обычного метода ис­ключения Гаусса. Этот шаг эквивалентен умножению системы (7) на элементарную нижнюю треугольную матрицу

В результате от системы (7) перейдем к эквивалентной системе

(8)

или в развернутом виде

(9)

Из последних двух уравнений системы (9) надо теперь исключить перемен­ное . Поскольку максимальным элементом первого столбца уко­роченной системы

(10)

является элемент второй строки, делаем в (10) перестановку строк и тем самым от системы (9) переходим к эквивалентной системе

(11)

которую можно записать в матричном виде как

. (12)

Таким образом система (12) получена из (8) применением элемен-тар­ной матрицы перестановок

Далее к системе (11) надо применить второй шаг исключения обычного метода Гаусса. Это эквивалентно умножению системы (11) на элементарную нижнюю треугольную матрицу

В результате получим систему

(13)

или

(14)

Заключительный шаг прямого хода метода Гаусса состоит в замене последнего уравнения системы (14) уравнением