Курсовая работа: Деление двоичных чисел в прямом, обратном и дополнительном кодах

Как видно из таблицы, а также из только что рассмотренного примера, двоичное изображение числа требует большего (для многоразрядного числа примерно в 3,3 раза) количества разрядов, чем его десятичное представление. Тем не менее применение двоичной системы позволяет уменьшить общее количество аппаратуры и создает большие удобства для проектирования цифровых вычислительных машин, так как для представления в машине разряда двоичного числа может быть использован любой простой элемент, имеющий всего два устойчивых состояния. Такими элементами, например, являются реле, триггерные схемы и т.п. Для представления десятичного разряда потребовалось бы четыре таких элемента.

Помимо двоичной системы счисления в ЦВМ используются также другие системы с недесятичным основанием - восьмеричная и шестнадцатеричная, имеющие основанием соответственно числа 8 и 16. В восьмеричной системе употребляются восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Любое число в восьмеричной системе представляется последовательностью цифр:

в которой βi могут принимать значения от 0 до 7. Этой записи соответствует разложение числа x по степеням числа восемь с приведенными ниже коэффициентами:

Например, восьмеричное число:

В шестнадцатеричной системе для изображения чисел употребляется 16 цифр от 0 до 15. При этом, чтобы одну цифру не изображать двумя знаками, приходится вводить специальные обозначения для цифр, больших девяти. Обозначим первые десять цифр этой системы цифрами от 0 до 9, а старшие пять цифр - латинскими буквами: десять - А, одиннадцать - В, двенадцать - С, тринадцать - D, четырнадцать - Е, пятнадцать - F. Записи произвольного числа в шестнадцатеричной системе в виде последовательности цифр:

где γi может принимать любые из 16 значений от 0 до F (пятнадцать), соответствует разложение числа х по степеням числа 16 с указанными ниже коэффициентами:

Например, шестнадцатеричное число:

Основание любой системы счисления, записанное в этой же системе, имеет вид 10 (число два в двоичной системе есть 10, число восемь в восьмеричной системе есть 10 и т.д.). Общие методы перевода чисел из одной системы в другую будут изложены в следующем параграфе. Здесь мы ограничимся только рассмотрением правил преобразования восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичные и наоборот. Эти правила исключительно просты, поскольку основания восьмеричной и шестнадцатеричной систем есть целые степени числа два:

Для перевода восьмеричного числа в двоичную форму достаточно заменить каждую цифру восьмеричного числа соответствующим трехразрядным двоичным числом. Таким же образом для перехода от шестнадцатеричной системы к двоичной каждая цифра шестнадцатеричного числа заменяется соответствующим четырехразрядным двоичным числом. При этом отбрасывают ненужные нули. Например, восьмеричное число 305,4 в двоичной форме записи имеет вид:

а шестнадцатеричное число 7В2,Е в двоичной системе запишется следующим образом:

Для перехода от двоичной к восьмеричной (или шестнадцатеричной) системе поступают следующим образом: двигаясь от запятой влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем каждую группу из трех (четырех) разрядов заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Приведем примеры:

а) Перевод двоичного числа 1101111001, 1101 в восьмеричное:

б) Перевод двоичного числа 11111111011,100111 в шестнадцатеричное:

Двоичные числа, наборы цифр которых разбиты на группы по три (четыре) разряда, а крайние группы при необходимости дополнены нулями, можно считать восьмеричными (шестнадцатеричными) числами, в которых цифра каждого разряда записана в двоичной системе

в виде трех (четырех) разрядного двоичного числа. Такие формы записи чисел носят название двоично-восьмеричной и двоично-шестнадцатеричной системы. Они называются также двоично-кодированными системами.

В вычислительных системах также применяются специальные формы кодирования десятичных чисел. Этот вопрос будет рассмотрен ниже.

В настоящее время для большинства вычислительных машин основной системой счисления является двоичная. Двоичная система и двоичный алфавит используются во многих машинах для представления и хранения чисел и команд и при выполнении арифметических и логических операций.