Курсовая работа: Элементы общей топологии

Пример 1 . Определим для элементов произвольного непустого множества Х расстояние следующим образом:

r(х, у) =.

Очевидно, аксиомы 1 – 3 выполняются, а, следовательно, (Х, r) – метрическое пространство.

Пример 2 . Множество действительных чисел R с расстоянием

r(х, у) = (у – х)² не является метрическим пространством.

Действительно не выполняется третья аксиома. Например, для трех точек 2, 3 и 4 получим:

r(2, 3) = (3 – 2)² = 1, r(3, 4) = (4 – 3)² = 1,

r(2, 4) = (4 – 2)² = 4 и r(2, 3) + r(3, 4) < r(2, 4).

Определение 1. Пусть (Х, r) – метрическое пространство, х₀ Î Х,

r > 0– действительное число. Назовём открытым шаром с центром в точке х₀ и радиусом r множество

U (x₀ , r) = {x | xÎX, r (x, x₀ ) <r}.

Определение 2. Подмножество GÌ Х будем называть открытым в

(Х, r), если любая его точка является центром некоторого открытого шара, содержащегося в G.

Пустое множество Æ также считаем открытым множеством.

Определение 3. Окрестностью точки Аметрического пространства будем называть любое открытое множество, содержащее эту точку.

Обозначим совокупность всех открытых множеств в (Х, r) просто Ф_r .

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема. 1) Объединение любой совокупности {G_a } множеств из Ф_r принадлежит Ф_r .

GÎФ_r .

2) Пересечение любых двух множеств G₁ и G₂ из Ф_r принадлежит Ф_r .

G₁ ÇG₂ Î Ф_r .

3) Метрическое пространство Х – открытое множество, то есть

Х Î Ф_r , ÆÎ Ф_r .

Доказательство. 1) Пусть . Обозначим

G = .

Возьмём произвольную точку х₀ ÎG. Тогда существует такое a₀ , что х₀ Î, и так как Î Ф_r , то найдётся число r₀ , что

U (х₀ , r₀ ) Ì.

Так как G₀ ÌG, то U (х₀ , r₀ ) ÌG.

Итак, G– открытое множество.