Курсовая работа: Элементы общей топологии
(У, y) – называют топологическим подпространством пространства (Х, Ф), а y – топологией, индуцированной топологией Ф.
Пример. Пусть Х = Е3 . Открытыми в Х множествами назовем только открытые шары U(r) с общим центром О и радиусами r, а также все множество Х и пустое множество. Известно, что набор открытых множеств задает топологию Фк на Х, то есть (Х, Фк ) топологическое пространство.
Рассмотрим плоскость, проходящую через точку О и обозначим ее У. Тогда У – подмножество Х и на У индуцируется следующая топология: открытыми множествами будут У, Æ и открытые круги с общим центром О и радиусами r.
1.2.2 Замкнутые множества. Внутренние, внешние и граничные точки
Определение 1. Подмножество А топологического пространства
(Х, Ф) называется замкнутым, если его дополнение Х \ А открытое множество.
Так как дополнение к дополнению множества А есть снова А, то получаем: множество А открыто в том и только в том случае, когда дополнение к нему замкнуто.
Если (Х, Ф) – антидискретное топологическое пространство, то дополнения к Х и к Æ являются единственными замкнутыми множествами, но учитывая, что
Х / Х = Æ, Х / Æ = Х,
получаем: Æ и Х – являются также и замкнутыми множествами.
Х и Æ замкнуты (и одновременно открыты) в любом топологическом пространстве (Х, Ф).
Если Ф – дискретная топология, то любое множество замкнуто и открыто.
Если Х – множество действительных чисел и Ф обычная топология, то есть индуцированная естественной метрикой, то множество
[
] = {х |
£ х £
} = Х \ ((– ¥, ) È (, + ¥))
замкнуто.
Используя формулы де Моргана
Х \ È
= Ç (X \ ),
Х \ Ç= È (X \ ),
несложно доказывается следующая теорема.
Теорема 1. (Свойства замкнутых множеств)
1. Пересечение любой совокупности замкнутых множеств есть замкнутое множество.
2. Объединение любых двух замкнутых множеств есть замкнутое множество.
Доказательство. Пусть для любого a определено множество
F
= X \ ,
где - открытое множество в (Х, Ф).
1. F0 = ÇF = Ç(X \ ) = X \(È).
Так как È = G0 ÎF, то F0 – замкнуто.