Курсовая работа: Элементы общей топологии

Доказательство. Так как HÌF, то все предельные точки H будут являться предельными и для F, а поэтому они принадлежат F, следовательно

ÌF.

Следствие. Замыкание множеств H есть пересечение всех замкнутых множеств, содержащих H.

Действительно, согласно теореме 5 принадлежит любому замкнутому множеству, содержащему H, а по теореме 3- замкнутое множество.

Определение 8. Множество H называется всюду плотным в топологическом пространстве (Х, Ф), если = X.

Множество А называется нигде не плотным в пространстве (Х, Ф), если дополнение к замыканию А всюду плотно в Х, то есть = Х

1.2.3 Базис и отделимость топологического пространства

Определение 1. Пусть (Х, Ф) – топологическое пространство, и пусть G^* ={G} – некоторое семейство открытых множеств в этом пространстве. Если любое открытое множество в (Х, Ф) представимо в виде объединения некоторых множеств G^* , то G^* называется базисом топологического пространства (Х, Ф) или базой.

Теорема 1. Для того, чтобы семейство G^* ={G}ÌF было базисом топологического пространства (Х, Ф) необходимо и достаточно, чтобы для любой точки Î Х и любой её окрестности U_a существовало множество G_a ÎG^* такое, что ÎG_a и G_a ÌU_{a .}

Теорема 2. Для того, чтобы семейство подмножеств G^* = {G} было базисом некоторого топологического пространства Х необходимо и достаточно, чтобы для любых двух элементов U_, VÎG^* и каждой точки хÎUÇVсуществовал такой элемент WÎG^* , что х ÎWи WÌUÇV. При этом ÆÎG^* и G = X.

Доказательство. 1. Пусть G^* – база. Тогда, так как UÇV – открытое множество, то согласно теореме 1 существует W такое, что WÎG^* и х ÎWÌUÇV.

2. Докажем обратное утверждение. Пусть G^* – семейство с выделенными нами специальными свойствами. В-семейство всевозможных объединений элементов из G^* . Покажем, что В-топология. Ясно, что объединение любой совокупности элементов из В является объединением элементов из G^* , а, следовательно, принадлежит В.

Пересечение любых двух элементов Uи V из В также принадлежит В.

Действительно, если х₀ ÎUÇV, то существует U¢ÎG^* и V¢ÎG^* такие, что U^¢ ÌU, V¢ÌVи х₀ ÎU¢ÇV¢. Тогда по условию существует

WÎG^* , для которого

х₀ ÎWÌU¢ÇV¢ÌUÇV.

Но, тогда

UÇV = Î В.

Кроме того,

Х = GÎ В.

Итак, В-топология, а G^* её базис.

Теорема доказана.

Из предыдущих теорем следует, что не всякое семейство G^* может служить базой топологии. Возникает вопрос: можно ли по произвольному семейству {G_i } множеств определить некоторую топологию? Эта топология должна быть определена на множестве Х, являющимся объединением всех элементов {G_i }, каждый элемент из {G_i } должен быть открыт в этой топологии.

Кроме того, возникает вопрос: существует ли наименьшая топология на Х, содержащая {G_i }? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема 3. Пусть G^* = {G_i } – произвольное непустое семейство множеств. Тогда семейство всевозможных конечных пересечений элементов из G^* образует базу некоторой топологии на множестве Х = G_i .

Доказательство. Обозначим В-семейство всевозможных конечных пересечений элементов из G^* . Тогда пересечение любых двух элементов из В снова является элементом В. В силу теоремы 2 получим, что В-база некоторой топологии.

Теорема доказана.

У пространств, топология которых обладает счетной базой, есть много хороших свойств.

Примеры. 1. В любом топологическом пространстве (Х, Ф) множество Ф – база (очевидно).